Implizite Differentiation

Die implizite Differentiation (auch implizite Ableitung) i​st eine Möglichkeit, e​ine Funktion, d​ie nicht explizit d​urch einen Term, sondern n​ur implizit d​urch eine Gleichung gegeben i​st (auch implizite Kurve), m​it Hilfe d​er mehrdimensionalen Differentialrechnung abzuleiten.[1] Sie k​ann oft a​uch benutzt werden, u​m die Ableitung v​on Funktionen, d​ie zwar explizit gegeben sind, i​n dieser Form a​ber schwierig abzuleiten sind, z​u bestimmen.

Regel

Erfüllt die differenzierbare Funktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ die Gleichung

${\displaystyle F(x,f(x))=0}$,

wobei auch ${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\ F\colon (x,y)\mapsto F(x,y)}$, eine differenzierbare Funktion ist, so bedeutet das, dass die Funktion ${\displaystyle x\mapsto F(x,f(x))}$ konstant (nämlich die Nullfunktion) ist. Ihre Ableitung ist dementsprechend auch konstant null. Mit Hilfe der mehrdimensionalen Kettenregel erhält man dann

${\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x,f(x))={\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}\,f'=F_{x}+F_{y}\,f'\,.}$

Hierbei sind ${\displaystyle F_{x}={\tfrac {\partial F}{\partial x}}}$ und ${\displaystyle F_{y}={\tfrac {\partial F}{\partial y}}}$ die partiellen Ableitungen von ${\displaystyle F}$. Zur Vereinfachung der Schreibweise wurden die Funktionsargumente ${\displaystyle (x,f(x))}$ weggelassen.

Gilt ${\displaystyle F_{y}(x_{0},f(x_{0}))\neq 0}$ an einer Stelle ${\displaystyle x_{0}}$, so gilt dies auch für alle ${\displaystyle x}$ in einer Umgebung von ${\displaystyle x_{0}}$ und man kann die Gleichung nach ${\displaystyle \,f'}$ auflösen:

${\displaystyle f'=-{\frac {F_{x}}{F_{y}}}}$

bzw. ausführlich

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}}\,.}$

Höhere Ableitungen

Durch Anwendung der Produkt- und Kettenregel können auch höhere Ableitungen impliziter Funktionen berechnet werden. So ergibt sich die zweite Ableitung ${\displaystyle f''}$ zu:

${\displaystyle f''(x)=-{\frac {F_{xx}F_{y}^{2}+F_{yy}F_{x}^{2}-2F_{xy}F_{x}F_{y}}{F_{y}^{3}}}}$

mit ${\displaystyle F_{xx}={\tfrac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}}$, ${\displaystyle F_{yy}={\tfrac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}}$, ${\displaystyle F_{xy}={\tfrac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}}$.[2]

Beispiele

Beispiel 1

Gesucht ist die Ableitungsfunktion ${\displaystyle f'(x)}$ des natürlichen Logarithmus ${\displaystyle \ln(x)}$. Man kann diesen auch implizit darstellen

${\displaystyle f(x)=\ln(x)\Leftrightarrow e^{f(x)}-x=0}$,

danach d​ie Gleichung ableiten

${\displaystyle e^{f(x)}\cdot f'(x)-1=0}$,

wieder ${\displaystyle f(x)=\ln(x)}$ setzen

${\displaystyle x\cdot f'(x)-1=0}$

und umstellen

${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x}}}$.

Beispiel 2

Die Funktion ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$, ${\displaystyle x>0}$, kann mit den herkömmlichen Ableitungsregeln nicht ohne Umformungen abgeleitet werden, da sowohl Exponent als auch Basis der Potenz variabel sind. Zunächst kann man durch Logarithmieren den Exponenten eliminieren:

${\displaystyle \ln f(x)=x\ln x}$.

Nun leitet man implizit ab, indem man beide Seiten herkömmlich nach ${\displaystyle x}$ ableitet:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(\ln f(x))={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x\ln x)}$

Die l​inke Seite k​ann mit d​er Kettenregel, d​ie rechte m​it der Produktregel u​nd der Regel für d​ie Ableitung d​es Logarithmus berechnet werden:

${\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}\cdot f'(x)=\ln x+x{\frac {1}{x}}}$

Löst man nach ${\displaystyle f'(x)}$ auf und setzt ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ ein, so erhält man als Lösung:

${\displaystyle f'(x)=f(x)\,(\ln x+1)=x^{x}\left(\ln x+1\right)}$.

Beispiel 3

Der Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle (0,0)}$ und Radius ${\displaystyle r}$ ist gegeben durch die Gleichung ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$. Teile davon kann man als Graph einer Funktion ${\displaystyle y=f(x)}$ schreiben. Deren Ableitung lässt sich mit Hilfe der impliziten Differentiation wie folgt berechnen:

In die definierende Gleichung setzt man ${\displaystyle y=f(x)}$ ein:

${\displaystyle x^{2}+f(x)^{2}=r^{2}}$

Durch Ableiten dieser Gleichung erhält man

${\displaystyle 2\,x+2\,f(x)\,f'(x)=0\,.}$

Für ${\displaystyle f(x)\neq 0}$ ergibt Auflösen nach ${\displaystyle f'(x)}$

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {x}{f(x)}}=-{\frac {x}{y}}\,.}$

Daraus folgt, dass die Tangente an den Kreis im Punkt ${\displaystyle (x,y)}$ mit ${\displaystyle y\neq 0}$ die Steigung ${\displaystyle -{\frac {x}{y}}}$ hat.

Einzelnachweise

1. Gerhard Marinell: Mathematik für Sozial- und Wirtschaftswissenschaftler. 7. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2001, ISBN 3-486-25567-3, S. 135–136 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. Jörg Feldvoss, Höhere Ableitungen impliziter Funktionen, 2000: https://www.southalabama.edu/mathstat/personal_pages/feldvoss/impldiff.pdf