Hanner-Ungleichungen

Die Hanner-Ungleichungen stammen aus der Funktionalanalysis und sind Ungleichungen für L^p-Normen. Sie haben einige wichtige Konsequenzen, unter anderem dass die L^p-Räume für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ gleichmäßig konvexe Räume sind.

Sie s​ind nach d​em schwedischen Mathematiker Olof Hanner benannt.[1]

Aussage

Seien ${\displaystyle f,g\in L^{p}(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$. Falls ${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$, dann gilt

${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}+\|f-g\|_{p}^{p}\geq {\big (}\|f\|_{p}+\|g\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|f\|_{p}-\|g\|_{p}{\big |}^{p}}$

und

${\displaystyle 2^{p}{\big (}\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}{\big )}\geq {\big (}\|f+g\|_{p}+\|f-g\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|f+g\|_{p}-\|f-g\|_{p}{\big |}^{p}}$.

Falls ${\displaystyle 2\leq p<\infty }$, dann sind die Ungleichungssymbole umgekehrt, das heißt aus ${\displaystyle \geq }$ wird ${\displaystyle \leq }$.

Erläuterungen zu den Ungleichungen

Man erhält die zweite Ungleichung aus der ersten, wenn man die Substitution ${\displaystyle f=f+g}$ und ${\displaystyle g=f-g}$ durchführt. Denn dann wird die linke Seite ${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}+\|f-g\|_{p}^{p}}$ zu

${\displaystyle \|(f+g)+(f-g)\|_{p}^{p}+\|(f+g)-(f-g)\|_{p}^{p}=\|2f\|_{p}^{p}+\|2g\|_{p}^{p}=2^{p}(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p})}$

und d​ie rechte Seite f​ormt man ähnlich um.

Für ${\displaystyle p=2}$ wird die Norm von einem Skalarprodukt induziert. In diesem Fall werden die Ungleichungen zu Gleichungen und sind äquivalent zu der Parallelogrammgleichung.

Einzelnachweise

1. C. Schütt: Funktionalanalysis, Seite 73. Abgerufen am 24. Juni 2020.