Hafner-Sarnak-McCurley-Konstante

Die Hafner–Sarnak–McCurley Konstante i​st eine mathematische Konstante, d​ie angibt, m​it welcher Wahrscheinlichkeit d​ie Determinanten v​on zwei Matrizen zueinander teilerfremd sind.

Definition

Seien ${\displaystyle N,M\in \mathbb {Z} ^{n\times n}}$ zwei quadratische, ganzzahlige ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Determinanten zueinander teilerfremd sind, durch die Funktion

${\displaystyle D(n)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-(1-\prod _{j=1}^{n}1-p_{k}^{-j})^{2})}$

beschrieben.[1] Dabei bezeichnet ${\displaystyle p_{n}}$ die n-Primzahl.

Graph der D(n) Funktion

Insbesondere ist für zwei ${\displaystyle 1\times 1}$-Matrizen die Wahrscheinlichkeit für Teilerfremdheit:

${\displaystyle D(1)={6 \over \pi ^{2}}=0{,}607927}$. (OEIS A059956)

Weitere Werte

Die genauen Funktionswerte für ${\displaystyle n\geq 2}$ wurden analytisch nicht ermittelt. Näherungsweise ergeben sich die Werte:

n	D(n)
2	0.453103
3	0.397276
4	0.373913
5	0.363321

Grenzwert

Für die Funktion ${\displaystyle D(n)}$ wurde durch Vardi (1991) der Grenzwert

${\displaystyle \omega =\lim _{n\to \infty }D(n)=0{,}35323637185}$ (A085849)

mit einer Approximationsgeschwindigkeit von ${\displaystyle \sim 0{,}57^{n}}$ bewiesen.[2]

Literatur

• Finch, S. R. (2003), "§2.5 Hafner–Sarnak–McCurley Constant", Mathematical Constants, Cambridge, England: Cambridge University Press, S. 110–112, ISBN 0-521-81805-2
• Hafner, J. L.; Sarnak, P. & McCurley, K. (1993), "Relatively Prime Values of Polynomials", in Knopp, M. & Seingorn, M. (eds.), A Tribute to Emil Grosswald: Number Theory and Related Analysis, Providence, RI: Amer. Math. Soc., ISBN 0-8218-5155-1
• Vardi, I. (1991), Computational Recreations in Mathematica, Redwood City, CA: Addison–Wesley, ISBN 0-201-52989-0

Einzelnachweise

1. Hafner, Sarnak, McCurley, op. cit.
2. Eric W. Weisstein: Hafner-Sarnak-McCurley Constant. Abgerufen am 16. Juni 2019 (englisch).