Gerbe

Der Begriff Gerbe w​ird in d​er algebraischen Topologie für e​ine bestimmte Art v​on Stacks über e​inem topologischen Raum verwendet. Teilweise werden a​ber auch Spezialfälle solcher Gerben vereinfachend a​ls Gerben bezeichnet, z​um Beispiel Bündelgerben o​der Hitchin-Gerben. Eine wichtige Charakterisierung v​on Gerben i​st ihr Band.

Definition: Eine Gerbe über einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ ist ein Stack ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ über ${\displaystyle X}$ in der 2-Kategorie ${\displaystyle {\mathfrak {Grpd}}}$ der Gruppoide, der die folgenden zwei Gerbenaxiome erfüllt:

• Es gibt ein Objekt ${\displaystyle j\colon U\to X}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {Cov}}(X)}$ mit ${\displaystyle {\mathcal {G}}(U)\neq \emptyset }$.
• Für jedes Objekt ${\displaystyle j\colon U\to X}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {Cov}}(X)}$ und je zwei Objekte ${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle {\mathcal {G}}(U)}$ gibt es einen Morphismus ${\displaystyle i\colon V\to U}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {Cov}}(X)}$ und einen Morphismus ${\displaystyle {\mathcal {G}}(i)(A)\to {\mathcal {G}}(i)(B)}$ in ${\displaystyle {\mathcal {G}}(V)}$.

Das erste Axiom fordert also, dass ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ nicht-trivial ist, während das zweite Axiom eine gewisse Transitivitätsbedingung darstellt.