Funktionalableitung

Die Funktionalableitung a​uch Variationsableitung[1] i​st eine verallgemeinerte Richtungsableitung e​ines Funktionals. Ein Funktional i​st dabei e​ine Abbildung, d​ie einer Funktion e​ine Zahl zuordnet. Weil d​er zugrundeliegende Vektorraum i​n diesem Fall a​lso ein Funktionenraum ist, w​ird „in Richtung e​iner Funktion“ abgeleitet. Ein verwandtes Konzept i​st die erste Variation.

Die Funktionalableitung i​st in d​er theoretischen Physik relevant. Dort w​ird sie u​nter anderem i​n der Dichtefunktionaltheorie u​nd der Feldtheorie verwendet.

Definition

Sei ${\displaystyle M}$ eine Untermenge eines topologischen Vektorraumes und ${\displaystyle F\colon M\to \mathbb {K} }$ mit ${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ ein (nicht zwingend lineares) Funktional, dann ist die erste Variation von ${\displaystyle F}$ definiert durch

${\displaystyle \delta F[y]:=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {F[y+\varepsilon \phi ]-F[y]}{\varepsilon }}={\frac {d}{d\varepsilon }}F[y+\varepsilon \phi ]{\bigg \vert }_{\varepsilon =0}}$

für eine beliebige Funktion ${\displaystyle \phi }$ (in einem nicht näher bestimmten Funktionenraum ${\displaystyle \Omega (D)}$) mit der einzigen Bedingung, dass ${\displaystyle F}$ auf ${\displaystyle y+\varepsilon \phi }$ eindeutig definiert ist für hinreichend kleine ${\displaystyle \varepsilon >0}$. Der Funktionenraum ${\displaystyle \Omega (D)}$ muss kein Unterraum von ${\displaystyle M}$ sein, so lange ${\displaystyle y+\varepsilon \phi \in M}$ für alle ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ist.

Die Funktionalableitung ${\displaystyle {\tfrac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}}$ von ${\displaystyle F}$ ist dann definiert durch

${\displaystyle \int _{D}{\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}\phi (x)\mathrm {d} x:=\left.{\frac {d}{d\varepsilon }}F[y+\varepsilon \phi ]\right|_{\varepsilon =0}}$.

Diese Definition impliziert, dass die rechte Seite in die Form eines linearen Integraloperators mit Integralkern ${\displaystyle {\tfrac {\delta F[Y]}{\delta y(x)}}}$ gebracht werden kann. Dies ist im Allgemeinen für beliebige Funktionale und beliebige ${\displaystyle y}$ nicht möglich. Ein Funktional, für das eine solche Integralform existiert, heißt differenzierbar.[1][2]

Die Funktionalableitung spielt hierbei die Rolle eines Gradienten, was durch die Notation ${\displaystyle {\tfrac {\delta }{\delta y(x)}}}$ ausgedrückt werden soll.

Eigenschaften

Analog z​ur üblichen Richtungsableitung h​at auch d​ie Funktionalableitung folgende Eigenschaften.

1. Die Funktionalableitung ist eine lineare Abbildung[2]:

   ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta y(x)}}(\alpha F[y]+\beta G[y])=\alpha {\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}+\beta {\frac {\delta G[y]}{\delta y(x)}}}$

2. Für ein Produkt aus Funktionalen ${\displaystyle H[y]=F[y]G[y]}$ gilt die Produktregel[2]:

   ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta y(x)}}(F[y]G[y])=F[y]{\frac {\delta G[y]}{\delta y(x)}}+{\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}G[y]}$

3. Falls ${\displaystyle F}$ linear ist, dann ist

   ${\displaystyle F[y]=\int _{D}y(x){\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}dx}$.

   Dies ist auch ein Folgerung aus dem Darstellungssatz von Fréchet-Riesz: Weil ${\displaystyle F}$ hier ein lineares Funktional ist, lässt es sich als Skalarprodukt ${\displaystyle \textstyle \left\langle y,{\frac {\delta F[y]}{\delta y}}\right\rangle }$ darstellen.

4. Operiert das Funktional ${\displaystyle F}$ zwischen Teilmengen von Banachräumen und ist die Funktionalableitung ${\displaystyle y\mapsto {\tfrac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}}$ von ${\displaystyle F}$ eine lineare Abbildung, dann existiert auch die Fréchet-Ableitung von ${\displaystyle F}$ und stimmt mit ${\displaystyle \textstyle \int _{D}y(x){\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}dx}$ überein.[1]

Beispiele

• Das nicht-lineare Funktional

${\displaystyle F[y]=\int _{\mathbb {R} }y(x)^{2}g(x)dx}$

hat die Funktionalableitung ${\displaystyle {\tfrac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}=2y(x)g(x)}$, wie sich mithilfe der Definition zeigen lässt:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} }{\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}h(x)dx&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}(F[y+\varepsilon h]-F[y])\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\left(\int _{\mathbb {R} }(y(x)+\varepsilon h(x))^{2}g(x)dx-\int _{\mathbb {R} }y(x)^{2}g(x)dx\right)\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{\mathbb {R} }2y(x)\varepsilon h(x)g(x)+\varepsilon ^{2}h(x)^{2}g(x)dx\\&=\int _{\mathbb {R} }2y(x)g(x)h(x)dx\end{aligned}}}$.

Da dies für alle Testfunktionen ${\displaystyle h}$ gelten muss, folgt

${\displaystyle {\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}=2y(x)g(x)}$.

• Ein anderes Beispiel stammt aus der Dichtefunktionaltheorie. In der LDA-Näherung ist dort die Austauschenergie

${\displaystyle E_{x}[\varrho ]:=c\int _{\mathbb {R} }\varrho (r)^{4/3}d^{3}r}$

ein Funktional der Dichte ${\displaystyle \varrho }$.[3] Das zugehörige Austauschpotential ist

${\displaystyle V_{x}(r):={\frac {\delta E_{x}[\varrho ]}{\delta \varrho (r)}}=c{\frac {4}{3}}\varrho (r)^{1/3}}$.

• Ein weiteres, mehrdimensionales Beispiel aus der Dichtefunktionaltheorie ist die Elektron-Elektron-Wechselwirkung als Funktional ${\displaystyle F}$ der Dichte ${\displaystyle \varrho }$:

${\displaystyle F[\varrho ]={\frac {k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho (\mathbf {r} )\varrho (\mathbf {r} ')}{\vert \mathbf {r} -\mathbf {r} '\vert }}\,d\mathbf {r} d\mathbf {r} '\,.}$

Es gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\delta F[\varrho ]}{\delta \varrho (\mathbf {r} )}}h(\mathbf {r} )d{\boldsymbol {r}}&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}(F[\varrho +\varepsilon h]-F[\varrho ])\\&=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}{\frac {k}{2}}\left(\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {[\varrho ({\boldsymbol {r}})+\epsilon h({\boldsymbol {r}})]\,[\varrho ({\boldsymbol {r}}')+\epsilon h({\boldsymbol {r}}')]}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'-\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}})\,\rho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\right)\\&={\frac {k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')h({\boldsymbol {r}})}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'+{\frac {k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}})h({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}d{\boldsymbol {r}}'\\&={\frac {2k}{2}}\iint _{\mathbb {R} ^{6}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')h({\boldsymbol {r}})}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}'d{\boldsymbol {r}}\\&=\int _{\mathbb {R} ^{3}}\left(k\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}\,d{\boldsymbol {r}}'\right)h({\boldsymbol {r}})d{\boldsymbol {r}}\end{aligned}}}$.

Da dies für alle Testfunktionen ${\displaystyle h}$ gelten muss, folgert man das[2] Ergebnis

${\displaystyle {\frac {\delta F[y]}{\delta \varrho ({\boldsymbol {r}})}}=k\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\varrho ({\boldsymbol {r}}')}{\vert {\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\vert }}d{\boldsymbol {r}}'}$.

• In der Quantenfeldtheorie ist folgendes Beispiel nützlich, um Korrelationsfunktionen aus Zustandssummen zu berechnen. Das Funktional ist

${\displaystyle F[y]=e^{\int _{\mathbb {R} }y(x)g(x)dx}}$.

Mithilfe des Grenzwerts

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {e^{\varepsilon a}-1}{\varepsilon }}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1+\varepsilon a+{\frac {\varepsilon ^{2}}{2}}a^{2}+...-1}{\varepsilon }}=a}$

zeigt man

${\displaystyle {\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}=e^{\int _{\mathbb {R} }y(x)g(x)dx}g(x)=F[y]g(x)}$.

• Lässt man auch Distributionen zu, so kann man eine reelle Funktion ${\displaystyle f}$ mithilfe der Delta-Distribution als Funktional schreiben:

${\displaystyle f(x)=F_{x}[f]:=\int _{\mathbb {R} }f(y)\delta (x-y)dy}$.

In diesem Sinne ist[4]

${\displaystyle {\frac {\delta f(x)}{\delta f(y)}}=\delta (x-y)}$.

Mögliche Voraussetzungen für die Existenz der Funktionalableitung

Die Abbildung

${\displaystyle \phi \mapsto \left[{\frac {d}{d\varepsilon }}F[y+\varepsilon \phi ]\right]_{\varepsilon =0}}$

ist ein lineares Funktional. Erfüllt es zusätzliche Voraussetzungen, so kann auf dieses Funktional der Darstellungssatz von Riesz-Markow angewandt werden. Dann gibt es ein Maß ${\displaystyle \mu }$, so dass das Funktional als Integral gegen dieses Maß aufgefasst werden kann, das heißt es gibt eine Darstellung

${\displaystyle \delta F[y]=\int _{D}y(x)\mathrm {d} \mu (x)}$.

Kann m​an zusätzlich d​en Satz v​on Radon-Nikodým anwenden, s​o gibt e​s eine Dichtefunktion, s​o dass

${\displaystyle \delta F[y]=\int _{D}y(x){\frac {\delta F[y]}{\delta y(x)}}\mathrm {d} x}$

gilt. Diese Dichtefunktion i​st dann d​ie Funktionalableitung.

Siehe auch

• Variation
• Hamiltonsches Prinzip
• Euler-Lagrange-Gleichung

Einzelnachweise

1. Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler: Density Functional Theory: An Advanced Course (Theoretical and Mathematical Physics). Springer, 2011, ISBN 978-3-642-14089-1, S. 405–406.
2. R. G. Parr, W. Yang Appendix A, Functionals. In: Density-Functional Theory of Atoms and Molecules. Oxford University Press, New York 1989, ISBN 978-0195042795, S. 246–254.
3. Klaus Capelle, A bird's-eye view of density-functional theory, Version 5, November 2006, Gleichung (83)
4. Eberhard Engel, Reiner M. Dreizler: Density Functional Theory: An Advanced Course (Theoretical and Mathematical Physics). Springer, 2011, ISBN 978-3-642-14089-1, S. 407–408.