Flachpunkt

Ein Flachpunkt ist ein Punkt ${\displaystyle (x_{0}|f(x_{0}))}$ auf dem Graphen einer reellen Funktion, an dem die zweite Ableitung der (an dieser Stelle mindestens zweimal differenzierbaren) Funktion = 0 ist.[1][2][3] Flachpunkte umfassen also sowohl Wendepunkte (bei denen die zweite Ableitung von ${\displaystyle f}$ einen Vorzeichenwechsel hat, also eine Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung übergeht oder umgekehrt; siehe in der Grafik den Punkt mit der grünen Tangente bei ${\displaystyle x=-1}$) als auch Punkte, an denen das Krümmungsverhalten sich nicht ändert. Letztere werden manchmal auch als echte Flachpunkte bezeichnet (siehe in der Grafik den Punkt mit der blauen Tangente bei ${\displaystyle x=2}$). Bei echten Flachpunkten ist außer der zweiten auch noch (mindestens) die dritte Ableitung gleich 0 mit Vorzeichenwechsel (sofern die Funktion an dieser Stelle mindestens dreimal differenzierbar ist).

Links im Bild ist ein Wendepunkt zu sehen, rechts ein (echter) Flachpunkt.

Besitzen Flachpunkte e​inen Anstieg, s​o kann m​an sie n​ach ihrer Art i​n Flachstieg u​nd Flachfall unterscheiden.

Andere Definition

Manche Autoren verlangen zusätzlich, dass sich das Krümmungsverhalten nicht ändert und der Anstieg ungleich Null ist;[4] Flachpunkte sind dann die Nullstellen gerader Ordnung der 2. Ableitung. Die Flachpunkte nach dieser alternativen Definition (beispielsweise in der Grafik der Punkt mit der blauen Tangente bei ${\displaystyle x=2}$) wären also genau die echten Flachpunkte nach der ersten Definition. Insbesondere sind Wendepunkte (beispielsweise in der Grafik der Punkt mit der grünen Tangente bei ${\displaystyle x=-1}$) nach dieser Definition nun keine Flachpunkte. Auch Extrempunkte mit vielfachen Nullstellen sind dann keine Flachpunkte.

Gleichbedeutend ist dann folgendes: ${\displaystyle f''(x_{0})=0}$ und ${\displaystyle f''}$ hat eine Nullstelle gerader Vielfachheit bei ${\displaystyle x_{0}}$. Dann hat ${\displaystyle f''}$ nämlich an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ ein Extremum, da kein Vorzeichenwechsel von ${\displaystyle f''}$ bei ${\displaystyle x_{0}}$ erfolgt; somit erfolgt keine Änderung der Krümmungsrichtung, und es liegt ein Flachpunkt vor und kein Wendepunkt.

Einzelnachweise

1. Mathematische Formeln und Definitionen. Friedrich Barth u. a. (Herausgeber), Bayerischer Schulbuch-Verlag, S. 64.
2. Elemente der Mathematik 11/12 Niedersachsen, Schroedel Verlag, Braunschweig, 2009, ISBN 978-3-507-87920-1, S. 29.
3. Flachpunkte. In: mathenexus.zum.de. 24. August 2004, abgerufen am 9. Januar 2015.
4. Praxis der Mathematik. Band 37, Aulis Verlag Deubner, 1995, S. 57 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).