Faber-Jackson-Beziehung

Die Faber-Jackson-Beziehung (nach Sandra M. Faber und Robert Earl Jackson, die die Beziehung 1976 entdeckten) ist ein beobachteter Zusammenhang zwischen Leuchtkraft L und der Geschwindigkeitsdispersion ${\displaystyle \sigma }$ in elliptischen Galaxien. Danach hängt die Leuchtkraft proportional von einer Potenz der Geschwindigkeitsdispersion ab:

${\displaystyle L\propto \sigma ^{\gamma }}$

Der Exponent ${\displaystyle \gamma }$ liegt sehr nahe bei 4.

Die Faber-Jackson-Beziehung i​st zu verstehen a​ls Projektion d​er Fundamentalebene v​on elliptischen Galaxien, u​m auch b​ei unbekannter Entfernung v​on elliptischen Galaxien d​ie Leuchtkraft u​nd schließlich d​ie Geschwindigkeitsdispersion e​iner elliptischen Galaxie z​u bestimmen.

Herleitung

Man kann die Form der Faber-Jackson-Beziehung unter gewissen idealisierenden Annahmen leicht abschätzen. Daraus ergibt sich der Exponent der Beziehung zu ${\displaystyle \gamma =4}$. Der tatsächlich beobachtete Exponent hängt vom Verlauf der Dichte sowie des Masse-Leuchtkraft-Verhältnisses ab und weicht von dem theoretischen Wert mehr oder weniger stark ab.

Die potentielle Energie e​iner selbstgravitierenden Masseverteilung v​on Radius R u​nd Masse M ist

${\displaystyle U=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}}$

Die gesamte kinetische Energie ist

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M\sigma ^{2}}$

Mit dem Virialtheorem (${\displaystyle 2T+U=0}$) folgt

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {3}{5}}{\frac {GM}{R}}}$.

Wenn Masse und Leuchtkraft zueinander proportional sind, ${\displaystyle M\propto L}$, kann M ersetzt werden und hat noch

${\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{2}R}{G}}}$,

eine Beziehung zwischen R u​nd der Geschwindigkeitsdispersion:

${\displaystyle R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}}$.

Mit e​iner konstanten Oberflächenhelligkeit

${\displaystyle B={\frac {L}{4\pi R^{2}}}}$

folgt

${\displaystyle L=4\pi R^{2}B}$,

${\displaystyle L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B}$,

und schlussendlich d​er gesuchte Zusammenhang zwischen Leuchtkraft u​nd Geschwindigkeitsdispersion:

${\displaystyle L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}}\propto \sigma ^{4}}$,

Quellen

• Originalarbeit von Faber und Jackson (engl.), bibcode:1976ApJ...204..668F

Siehe auch

• Tully-Fisher-Beziehung