Erdős-Moser-Gleichung
Die Erdős-Moser-Gleichung aus der Zahlentheorie ähnelt der Fermat-Gleichung und lautet
mit , und .
Für ist die einzige Lösung und für ist die einzige Lösung . Weitere Lösungen sind nicht bekannt.
Die Vermutung
Der Mathematiker Paul Erdős vermutete, dass für die Gleichung keine weiteren Lösungen als die beiden oben angegebenen existieren.
Der Fall n=0
Für sieht die Gleichung folgendermaßen aus:
Wegen für alle reellen kann man die linke Seite dieser Gleichung wie folgt umformen:
Die rechte Seite der Gleichung ergibt
- für alle reellen
Setzt man nun die linke und die rechte Seite zusammen, erhält man die Gleichung . Somit ist die einzige Lösung für diesen Fall und man erhält die folgende triviale Lösung der Erdős-Moser-Gleichung für :
Der Fall n=1
Für sieht die Gleichung folgendermaßen aus:
Die Gaußsche Summenformel besagt . Damit ergibt sich:
Diese Gleichung führt auf die quadratische Gleichung oder umgeformt:
Die einzigen Lösungen dieser Gleichung sind und . Wegen bleibt nur die zweite Lösung übrig und man erhält die folgende triviale Lösung der Erdős-Moser-Gleichung für :
Lösungsbedingungen für n≥2
Im Jahr 1953 zeigte der Mathematiker Leo Moser, dass im Fall für eine Lösung der Gleichung gelten muss. Er benutzte dazu Methoden der analytischen Zahlentheorie und kam ohne größere arithmetische Rechnungen aus. Durch massiven Rechnereinsatz konnten im Jahr 1999 bestimmte Zahlen genau berechnet werden, die Moser in seinem Beweis nur grob abgeschätzt hatte. Damit verbesserte sich die Schranke auf , dann im Jahr 2011 auf . Ein paar Ergebnisse seien hier in mathematischer Form erwähnt:
Sei mit , . Dann gilt:
- Diese Aussage konnte Leo Moser im Jahr 1953 beweisen.[1]
- (eine Verbesserung der vorherigen Aussage)
- Diese Aussage wurde im Jahr 1999 bewiesen.[2]
- (eine weitere Verbesserung der vorherigen Aussage)
- Diese Aussage wurde im Jahr 2010 bewiesen.[3]
- 2 ist ein Teiler von (das heißt, ist eine gerade Zahl)
- oder
- Beweis: (nach [5])
- Die Potenz einer geraden Zahl ist immer eine gerade Zahl (es ist also immer für gerade und ). Die Potenz einer ungeraden Zahl ist immer eine ungerade Zahl (es ist also immer für ungerade und ). Man betrachte die linke bzw. die rechte Seite der Erdős-Moser-Gleichung modulo 2:
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 … 1 1 0 0 1 1 0 0 … 0 1 0 1 0 1 0 1 …
- Man kann erkennen, dass die linke Seite und die rechte Seite modulo 2 immer gleich ist, wenn oder ist, wenn also bei Division durch immer den Rest oder ergibt. In Modulo-Schreibweise bedeutet das, dass oder sein muss, was zu beweisen war.
- Die Potenz einer geraden Zahl ist immer eine gerade Zahl (es ist also immer für gerade und ). Die Potenz einer ungeraden Zahl ist immer eine ungerade Zahl (es ist also immer für ungerade und ). Man betrachte die linke bzw. die rechte Seite der Erdős-Moser-Gleichung modulo 2:
- Beweis: (nach [5])
- Für jedes gibt es höchstens eine Lösung . Diese Lösung liegt in einem von abhängigen Intervall, nämlich zwischen und mit . Mathematisch geschrieben bedeutet das:
- Für jedes gibt es höchstens ein
- Diese Aussage konnte von J. van de Lune, M. R. Best und H. J. J. te Riele in den Jahren 1975 und 1976 nachgewiesen werden.[6]
- Beispiel 1:
- Für muss somit sein, es ist also . Leider ist aber
- Für muss somit sein, es ist also . Leider ist aber
- Beispiel 2:
- Für muss somit sein, es ist also . Leider ist aber
- Für muss somit sein, es ist also . Leider ist aber
- Für jedes gibt es höchstens ein
- Alle Primzahlen, welche kleiner als 1000 sind, müssen Teiler von sein. Genauer: ist ein Teiler von mit
-
- Diese Aussage konnte Bernd Christian Kellner in seiner Diplomarbeit im Jahr 2002 beweisen.[7]
-
Es gibt noch viele weitere Eigenschaften, die für und gelten müssen. Laut Kellner erscheint es aufgrund der zahlreichen und verschiedenen Bedingungen an und sehr unwahrscheinlich, dass es eine nicht triviale Lösung der Erdős-Moser-Gleichung gibt. Gäbe es eine Lösung, so wäre es eine "Monsterlösung mit vielen merkwürdigen Eigenschaften".
Verallgemeinerung
- Die verallgemeinerte Erdős-Moser-Gleichung, aufgestellt im Jahr 1966, lautet
- mit , , und
- Es wird vermutet, dass sie keine ganzzahligen Lösungen hat.[8] Mit erhalten wir die Erdős-Moser-Gleichung.
- Diese Gleichung hat keine Lösungen für , wenn ist.[9] Es wird daran gearbeitet, die Grenze auf anzuheben.
- Die Kellner-Erdős-Moser-Gleichung, aufgestellt im Jahr 2011, lautet
- mit , und
- Es wird ebenfalls vermutet, dass sie keine ganzzahligen Lösungen hat.[8][10][11] Mit erhalten wir die Erdős-Moser-Gleichung.
- Ist erlaubt, so gibt es genau eine triviale Lösung, nämlich für , , :
- Ist erlaubt, so gibt es genau zwei triviale Lösungen, nämlich für , , :
- und für , , :
- Um diese drei Triviallösungen auszuschließen, wird verlangt.
Literatur
- Leo Moser: On the Diophantine Equation 1k + 2k + ... + (m – 1)k = mk. In: Scripta Math. Band 19, 1953, S. 84–88.
- Jan van de Lune: On a conjecture of Erdős (I). In: Technical Report ZW 54/75, Mathematisch Centrum, Amsterdam. September 1975.
- M. R. Best, H. J. J. te Riele: On a conjecture of Erdős concerning sums of powers of integers. In: Technical Report NW 23/76, Mathematisch Centrum, Amsterdam. Mai 1976.
Weblinks
- Pieter Moree: Diophantine equations of Erdős–Moser type. Bull. Austral. Math. Soc. 53, 1996, S. 281–292, abgerufen am 4. Januar 2020.
- Jerzy Urbanowicz: Remarks on the equation 1k + 2k + ... + (x – 1)k = xk. Indag. Math. 91 (3), 26. September 1988, S. 343–348, abgerufen am 4. Januar 2020.
- Pieter Moree, H. J. J. te Riele, Jerzy Urbanowicz: Divisibility Properties of Integers x, k Satisfying 1k + 2k + ... + (x – 1)k = xk. Math. Comp. 63, Oktober 1994, S. 799–815, abgerufen am 4. Januar 2020.
Einzelnachweise
- Pieter Moree: Moser's Mathemagical Work on the Diophantine Equation 1k + 2k + ... + (m – 1)k = mk. Max-Planck-Institut für Mathematik, 16. Oktober 2009, S. 1–16, abgerufen am 3. Januar 2020.
- William Butske, Lynda M. Jaje, Daniel R. Mayernik: On the equation Σp|N 1/p + 1/N = 1, pseudoperfect numbers, and perfectly weighted graphs. Theorem 2. Mathematics of Computation 69 (229), 19. August 1999, S. 407–420, abgerufen am 3. Januar 2020.
- Yves Gallot, Pieter Moree, Wadim Zudilin: The Erdős–Moser Equation 1k + 2k + ... + (m – 1)k = mk revisited using continued fractions. Theorem 3. Mathematics of Computation 80 (274), 22. November 2010, S. 1221–1237, abgerufen am 3. Januar 2020.
- Bernd Christian Kellner: Über irreguläre Paare höherer Ordnungen. Lemma 4.2.2 auf S. 103. Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen, 2002, S. 1–149, abgerufen am 3. Januar 2020.
- Bernd Christian Kellner: Über irreguläre Paare höherer Ordnungen. Lemma 4.2.1 auf S. 102. Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen, 2002, S. 1–149, abgerufen am 3. Januar 2020.
- Bernd Christian Kellner: Über irreguläre Paare höherer Ordnungen. Abschnitt 4.3 auf S. 104. Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen, 2002, S. 1–149, abgerufen am 3. Januar 2020.
- Bernd Christian Kellner: Über irreguläre Paare höherer Ordnungen. Bedingungen an eine Lösung auf Seite 122 und 123. Mathematisches Institut der Georg-August-Universität Göttingen, 2002, S. 1–149, abgerufen am 3. Januar 2020.
- Pieter Moree: The Erdős-Moser Conjecture. Generalizations auf Seite 86. 2. Dezember 2011, S. 1–97, abgerufen am 3. Januar 2020.
- Pieter Moree: Moser's Mathemagical Work on the Diophantine Equation 1k + 2k + ... + (m – 1)k = mk. Theorem 7 auf Seite 14. Max-Planck-Institut für Mathematik, 16. Oktober 2009, S. 1–16, abgerufen am 3. Januar 2020.
- Bernd Christian Kellner: On stronger conjectures that imply the Erdős–Moser conjecture. Stronger conjecture – Part I auf Seite 1055. Journal of Number Theory 131 (6), Juni 2011, S. 1054–1061, abgerufen am 3. Januar 2020.
- Ioulia N. Baoulina, Pieter Moree: On the Kellner–Erdős–Moser equation. Max Planck Institute for Mathematics, Bonn, Germany, 26. Mai 2095, abgerufen am 4. Januar 2020.