Dirac-Identität

Darin bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ den Cauchy-Hauptwert und ${\displaystyle \delta (x)}$ die Dirac-Delta-Distribution. Sie ist zu verstehen als eine Integraloperatoridentität, d. h. obwohl man sie wie oben notiert, gilt genau genommen nur

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\eta \to 0^{+}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)}{x-x_{0}\pm \mathrm {i} \eta }}\mathrm {d} x&={\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)}{x-x_{0}}}\mathrm {d} x\mp \mathrm {i} \pi \int \limits _{-\infty }^{\infty }\delta (x-x_{0})\phi (x)\mathrm {d} x\\&={\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\phi (x)}{x-x_{0}}}\mathrm {d} x\mp \mathrm {i} \pi \phi (x_{0})\end{aligned}}}$

Die Dirac-Identität (benannt n​ach Paul Dirac) ist

${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}{\frac {1}{x\pm \mathrm {i} \eta }}={\mathcal {P}}{\bigg (}{\frac {1}{x}}{\bigg )}\mp \mathrm {i} \pi \delta (x)}$.

für eine geeignete Testfunktion ${\displaystyle \phi (x)}$. Sie lässt sich im Rahmen der Distributionentheorie beweisen. Sie ist ein Spezialfall des Sokhotski–Plemelj-Theorems und findet z. B. in der Physik Anwendung.

Allgemeiner lässt s​ich sogar zeigen, d​ass gilt

${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}{\frac {1}{(x\pm \mathrm {i} \eta )^{n}}}={\mathcal {P}}{\bigg (}{\frac {1}{x^{n}}}{\bigg )}\mp {\frac {\mathrm {i} \pi (-1)^{n-1}}{(n-1)!}}\delta ^{(n-1)}(x),}$

worin ${\displaystyle \delta ^{(n-1)}(x)}$ die ${\displaystyle n}$-te Ableitung der Dirac-Delta-Distribution bezeichnet.

Herleitung

In d​er Distributionentheorie führt m​an Distributionen über Funktionale ein, z. B. für d​ie Dirac-Delta-Distribution

${\displaystyle F_{\delta }[\rho ]:=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\delta (x-x_{0})\rho (x)\mathrm {d} x=\rho (x_{0}),}$

d. h. die Distribution wird nur im Integral mit einer geeigneten Testfunktion, die nur auf einem endlichen Bereich von Null verschieden sein soll und beliebig oft differenzierbar, definiert. Dass dabei gerade der Wert ${\displaystyle \rho (x_{0})}$ entsteht, ist Teil der Definition. Damit wird mit jeder singulären Funktion ${\displaystyle f}$ ein Funktional ${\displaystyle F_{f}[\rho ]}$ identifiziert, das mit jeder passenden Testfunktion ${\displaystyle \rho }$ eine Zahl identifiziert.

Mit partieller Integration und der Tatsache, dass die Testfunktion nur auf einem endlichen Bereich ungleich Null ist ("bounded support", ${\displaystyle \rho (\pm \infty )=0}$), erhält man

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f'(x)\rho (x)\mathrm {d} x=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\rho '(x)\mathrm {d} x}$

und damit beispielsweise auch für die Heaviside-Stufenfunktion ${\displaystyle \theta '(x)=\delta (x)}$, sowie ${\displaystyle \theta '(-x)=-\delta (x)}$ (diese Identität wird in der Festkörperphysik oft angewandt, da die Fermi-Funktion als Funktion der Energie bei Temperatur Null gerade eine Stufenfunktion ist). Man beachte, dass wegen der nur im Integral gültigen Definition das Verhalten der Heaviside-Distribution bei ${\displaystyle x=0}$ nicht notwendigerweise spezifiziert werden muss.

Bisher haben wir nur eine kurze Einführung in Distributionen gegeben. Für die Dirac-Identität betrachtet man das Funktional ${\displaystyle f(x)=\ln(x+\mathrm {i} 0^{+})}$, wobei hier wieder der Grenzfall ${\displaystyle \lim _{\eta \to 0^{+}}\ln(x+\mathrm {i} \eta )}$ gemeint ist.

Einerseits ist die Ableitung ${\displaystyle f'(x)={\frac {1}{x+\mathrm {i} 0^{+}}}}$.

Mit dem Verzweigungsschnitt[1] des natürlichen Logarithmus entlang der negativen reellen Achse ist ${\displaystyle f(x)=\ln |x|+\mathrm {i} \pi }$ für ${\displaystyle x<0}$ und ${\displaystyle f(x)=\ln |x|}$ für ${\displaystyle x>0}$. Daher folgt andererseits für die Ableitung:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\bigg (}\ln |x|+\mathrm {i} \pi \theta (-x){\bigg )}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln |x|-\mathrm {i} \pi \delta (x)}$.

Die Ableitung d​es Logarithmus m​uss wieder i​m Integral betrachtet werden, w​obei wie o​ben der bounded support ausgenutzt w​ird (hier i​n der ersten Zeile u​nd beim Schritt v​on der dritten i​n die vierte Zeile):

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} \ln |x|}{\mathrm {d} x}}\rho (x)\mathrm {d} x&=-\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ln |x|\rho '(x)\mathrm {d} x\\&=-\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int \limits _{|x|>\varepsilon }\ln |x|\rho '(x)\mathrm {d} x\\&=-\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\bigg [}\ln |x|\rho (x){\bigg \vert }_{-\infty }^{-\varepsilon }+\ln |x|\rho (x){\bigg \vert }_{\varepsilon }^{\infty }-\int \limits _{|x|>\varepsilon }{\frac {\rho (x)}{x}}\mathrm {d} x{\bigg ]}\\&={\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\rho (x)}{x}}\mathrm {d} x.\end{aligned}}}$

Dabei wurde im letzten Schritt ausgenutzt, dass die Testfunktion "gutmütig" ist, d. h., dass die vorderen Terme in der dritten Zeile (Randterme der partiellen Integration) verschwinden und dass das Integral über den ganzen Zahlenbereich außer über den Bereich ${\displaystyle ]-\varepsilon ,\varepsilon [}$ um die Polstelle des Integranden gerade das Hauptwertintegral ist.

Damit gilt im Sinne der Distributionentheorie ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln |x|={\mathcal {P}}{\bigg (}{\frac {1}{x}}{\bigg )}}$ und es folgt die Dirac-Identität aus Vergleich der beiden Berechnungen der Ableitung. Der Fall mit dem anderen Vorzeichen wird analog behandelt.

Anwendungen

Mit der Dirac-Identität lassen sich beispielsweise die Kramers-Kronig-Relationen für Antwortfunktionen ${\displaystyle \chi (\omega )}$ elegant beweisen, da diese in der oberen komplexen ${\displaystyle \omega }$-Halbebene analytisch sind. Statt einen Halbkreis in der oberen komplexen Halbebene zu schließen und den Bereich um die Polstelle auf der reellen Achse auszuschließen (so beispielsweise zu finden im Buch von Charles Kittel[2]), schließt man nun einen Halbkreis in der oberen komplexen Halbebene und verschiebt den Pfad entlang der reellen Achse um ${\displaystyle \mathrm {i} 0^{+}}$ nach oben oder unten und wendet die Dirac-Identität an. Zusätzlich verwendet man bei beiden Ansätzen die Tatsache, dass ein geschlossenes Kurvenintegral in der komplexen Ebene nur durch die Polstellen im Inneren des Integrationspfades bestimmt ist (Residuensatz).

Eine weitere Anwendung ist die Berechnung von Real- und Imaginärteil der Dielektrizitätsfunktion ${\displaystyle \epsilon ({\vec {q}},\omega )}$ in der Theorie der Abschirmung elektrischer Ladungen nach Lindhard, da in dem Ausdruck für ${\displaystyle \epsilon }$, den man in dieser Theorie, die auf 1. Ordnung Störungstheorie aufgebaut ist, findet, gerade eine solche Struktur im Nenner auftaucht, wie sie die Dirac-Identität voraussetzt[3]. Die Auftrennung in Real- und Imaginärteil ist hier u. a. deswegen wichtig, da man mit dem Imaginärteil der Dielektrizitätsfunktion üblicherweise die Dämpfung der Ausbreitung von Wellen im beschriebenen Medium verbindet.

Literatur

• Laurent Schwartz, Théorie des Distributions
• Gel'fand, Shilov, Generalized Functions, Vol. 1–5

Weblinks

Diskussionen i​n Foren:

• http://math.stackexchange.com/questions/245211/principal-value-of-1-x-equivalence-of-two-definitions
• http://physics.stackexchange.com/questions/105729/principal-value-of-1-x-and-few-questions-about-complex-analysis-in-peskins-qft

Ein Übungsblatt d​er HU Berlin: http://people.physik.hu-berlin.de/~thklose/FQM-WS1314/QMU-13.pdf

Einzelnachweise

1. Branch Cut Wolfram Research, abgerufen am 19. September 2018.
2. Kittel, Charles, Jochen Matthias Gress, and Anne Lessard. Einführung in die Festkörperphysik. Vol. 14. München: Oldenbourg, 1969.
3. Giuliani, Gabriele, and Giovanni Vignale. Quantum theory of the electron liquid. Cambridge university press, 2005.