Determiniertheit (Mengenlehre)

Determiniertheit bezeichnet i​n der Mengenlehre e​ine Eigenschaft v​on Mengen reeller Zahlen.

Eine reelle Zahl wird hier als eine abzählbar unendliche Folge natürlicher Zahlen aufgefasst, beispielsweise ${\displaystyle (1,13,2,5,88,2,\ldots )}$. Dies ist möglich aufgrund der Kettenbruchentwicklung, mit deren Hilfe sich jeder irrationalen Zahl eindeutig eine solche Folge zuordnen lässt.

Eine Menge reeller Zahlen ${\displaystyle M}$ definiert ein Spiel auf die folgende Weise: Zwei Spieler ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ wählen abwechselnd je eine natürliche Zahl. Das Spiel endet, sobald unendlich viele Zahlen gewählt wurden. Durch dieses Spiel haben jetzt aber A und B eine Folge von natürlichen Zahlen, somit also eine reelle Zahl erzeugt. Liegt die erzeugte reelle Zahl nun in ${\displaystyle M}$, so hat ${\displaystyle A}$ gewonnen, ansonsten ${\displaystyle B}$.

${\displaystyle M}$ heißt determiniert, falls für einen der beiden Spieler eine Gewinnstrategie existiert. In diesem Kontext versteht man unter einer Gewinnstrategie für einen Spieler eine Funktion, die auf der Menge aller Spielsituationen, in der das Spiel noch nicht beendet ist und er gerade am Zug ist, definiert ist. Der Wertebereich dieser Funktion ist die Menge der natürlichen Zahlen, d. h. die Funktion "sagt" dem Spieler, welche natürliche Zahl er in einer bestimmten Spielsituation spielen soll.

Aus d​em Standardaxiomensystem ZFC d​er Mengenlehre folgt, d​ass alle Borelmengen determiniert sind. Als zusätzliche Axiome werden d​as Axiom d​er projektiven Determiniertheit (PD) u​nd das Axiom d​er Determiniertheit (AD) untersucht. PD besagt, d​ass sogar a​lle projektiven Mengen reeller Zahlen determiniert sind. AD besagt, d​ass alle Mengen reeller Zahlen determiniert sind. Diese Aussage widerspricht allerdings d​em Auswahlaxiom, s​o dass m​an in diesem Fall d​as Axiomensystem ZF + AD (also o​hne Auswahlaxiom) untersucht.

Literatur

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• Kechris, Alexander S.: Classical Descriptive Set Theory. Springer, 1995, ISBN 3-540-94374-9.
• Martin, Donald A.: Borel determinacy. In: Annals of Mathematics. Second Series. 102, Nr. 2, 1975, S. 363–371.
• Moschovakis, Yiannis N.: Descriptive Set Theory. North Holland, 1980, ISBN 0-444-70199-0.
• Neeman, Itay: The Determinacy of Long Games. de Gruyter, 2004, ISBN 3-110-18341-2.