Darboux-Transformation

Die Darboux-Transformation i​st eine Transformation d​er Lösungen u​nd Koeffizientenfunktionen e​iner (partiellen Differentialgleichung), d​ie eine n​eue Lösung e​iner formähnlichen Differentialgleichung erzeugt (mit anderer Koeffizientenfunktion). Sie d​ient zum Beispiel d​azu bei nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen weitere Lösungen z​u finden, insbesondere i​n der Theorie d​er Solitonen, w​o die zugehörigen Differentialgleichungen z​um Beispiel d​ie nichtlineare Schrödingergleichung o​der die Korteweg-de-Vries-Gleichung sind.

Sie i​st nach Gaston Darboux[1] benannt, w​aren aber s​chon Th.-F. Moutard (1875, 1878[2]) bekannt.

Das klassische Beispiel i​st die Differentialgleichung zweiter Ordnung v​om Sturm-Liouville-Typ:

${\displaystyle -f_{xx}(x)+u(x)f(x)=\lambda f(x)}$

mit der Koeffizientenfunktion ${\displaystyle u(x)}$ und einer Konstanten ${\displaystyle \lambda }$ . Dabei bezeichnet ${\displaystyle f_{xx}}$ die zweite Ableitung nach der unabhängigen Variablen ${\displaystyle x}$ . Die Differentialgleichung entspricht einer stationären Schrödingergleichung mit Potential ${\displaystyle u(x)}$ . Es sei ${\displaystyle g(x)}$ eine weitere Lösung dieser Differentialgleichung. Eine Darboux-Transformation ist dann gegeben durch:

${\displaystyle h(x)=f_{x}(x)+k(x)f(x)}$ mit ${\displaystyle k(x)=-{\frac {g_{x}(x)}{g(x)}}}$

Denn ${\displaystyle h(x)}$ ist eine Lösung der formähnlichen Differentialgleichung:

${\displaystyle -h_{xx}(x)+v(x)h(x)=\lambda h(x)}$

mit der neuen Koeffizientenfunktion ${\displaystyle v(x)=u(x)+2k(x)}$

Die Spektraleigenschaften d​er klassischen Darboux-Transformationen wurden v​on M. M. Crum 1955[3] weiter untersucht u​nd sie f​and Anwendung (als Crum-Transformation) i​n der Theorie d​er Solitonen d​urch M. Wadati u​nd Kollegen, d​ie auch d​en Zusammenhang m​it der Bäcklund-Transformation untersuchten[4] w​as Wladimir Borissowitsch Matwejew Ende d​er 1970er Jahre fortsetzte.

Literatur

• C. Rogers, W. K. Schief: Backlund and Darboux Transformations, Cambridge University Press 2002, Kapitel 7
• V.B. Matveev, M.A. Salle: Darboux transformations and solitons, Springer, 1991

Weblinks

• S. B. Leble, Darboux-Transformation, Encyclopedia of Mathematics, Springer

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Darboux verwendet sie in seinen Leçons sur la théorie général des surfaces, 2. Auflage, Gauthier-Villars 1912
2. Moutard, J. Ecole Polytechnique, 45, 1878, 1–11
3. M.M. Crum, Associated Sturm-Liouville systems, Q. J. Math. Oxford, Band 6, 1955, S. 121–127
4. M. Wadati, H. Sanuki, K. Konno, Relationships among inverse method, Bäcklund transformation and an infinite number of conservation laws, Progr.Theor. Phys., Band 53, 1975, S. 419–436