Church-Kodierung

Unter Church-Kodierung versteht man die Einbettung von Daten und Operatoren in den Lambda-Kalkül. Die bekannteste Form sind die Church-Numerale, welche die natürlichen Zahlen repräsentieren. Benannt sind sie nach Alonzo Church, der Daten als Erster auf diese Weise modellierte.

Church-Numerale

Definition

Die Grundidee zur Kodierung beruht auf den Peano-Axiomen, wonach die natürlichen Zahlen durch einen Startwert – die 0 – und einer Nachfolger-Funktion definiert sind. Demnach sind die Church-Numerale wie folgt definiert:

0 ≡ λf.λx. x

1 ≡ λf.λx. f x

2 ≡ λf.λx. f (f x)

3 ≡ λf.λx. f (f (f x))

...

n ≡ λf.λx. fn x

Rechnen mit Church-Numeralen

Im Lambda-Kalkül sind arithmetische Funktionen durch korrespondierende Funktionen über Church-Numerale darstellbar. Diese Funktionen können in funktionalen Programmiersprachen direkt durch Übertragen der Lambda-Ausdrücke implementiert werden.

Die Nachfolger-Funktion wird wie folgt definiert:

succ ≡ λn.λf.λx. f (n f x)

Die Addition zweier Zahlen ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle m}$ ist die ${\displaystyle m}$-malige Anwendung der Nachfolger-Funktion auf ${\displaystyle n}$:

plus ≡ λm.λn.λf.λx. m f (n f x)

Die Multiplikation zweier Zahlen ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle m}$ ist die ${\displaystyle m}$-malige Anwendung der Addition ${\displaystyle (+n)}$ auf ${\displaystyle n}$:

mult ≡ λm.λn.λf.λx. m (n f) x

Die Vorgänger-Funktion:

pred ≡ λn.λf.λx. n (λg.λh. h (g f)) (λu. x) (λu. u)

Boolesche Ausdrücke

Analog zu den natürlichen Zahlen lassen sich auch (zweiwertige) Wahrheitswerte im Lambda-Kalkül modellieren.

true ≡ λx.λy. x

false ≡ λx.λy. y

Daraus lässt sich auch eine einfache Kontrollstruktur (IF THEN ELSE) ableiten:

ifthenelse ≡ λb.λx.λy.b x y

Dabei ist die Variable ${\displaystyle b}$ als Bedingung zu verstehen, ${\displaystyle x}$ als „THEN“ und ${\displaystyle y}$ als „ELSE“.