Catalansche Fläche

Eine Catalansche Fläche i​st in d​er Geometrie e​ine nach d​em belgischen Mathematiker Eugène Charles Catalan benannte Regelfläche, d​eren Erzeugenden (Geraden) a​lle zu e​iner festen Ebene, d​er Richtebene, parallel sind.

Catalansche Fläche: Beispiel Wendelfläche
Leitkurve ist eine Helix, Richtebene ist die x-y-Ebene

Eine Catalansche Fläche mit der Richtebene ${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {n} _{0}=0}$ lässt sich durch eine Parameterdarstellung

• ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\mathbf {r} (u)\ ,}$ mit

${\displaystyle \mathbf {r} (u)\cdot \mathbf {n} _{0}=0}$

beschreiben. Jede Flächenkurve ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$ mit festem Parameter ${\displaystyle u=u_{0}}$ ist eine Erzeugende, ${\displaystyle \mathbf {c} (u)}$ beschreibt die Leitkurve und die Vektoren ${\displaystyle \mathbf {r} (u)}$ sind alle parallel zur Richtebene.

Ist ${\displaystyle \mathbf {r} (u)}$ hinreichend differenzierbar, kann man die Planaritätsbedingung auch durch

${\displaystyle \det(\mathbf {r} ,\mathbf {\dot {r}} ,\mathbf {\ddot {r}} )=0}$

ausdrücken.

Beispiele:

(1) Ebene: ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {p} +u\mathbf {a} +v\mathbf {r} }$

Die Leitkurve ist eine Gerade.

(2) Zylinder: ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,0)+v(0,0,1)}$

Die Leitkurve ist ein Kreis. Als Richtebene kann man jede Ebene parallel zur z-Achse verwenden.

(3) Wendelfläche: ${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,u)+v(\cos u,\sin u,0)}$

Die Leitkurve ist eine Helix (Schraublinie) und die Richtebene parallel zur x-y-Ebene.

Diese Wendelfläche lässt sich auch mit einer Gerade (z-Achse) als Leitkurve erzeugen:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(0,0,u)+v(\cos u,\sin u,0)}$

(4) Ein Konoid ist eine Catalansche Fläche, bei der sich die Geraden auf einer festen Gerade, der Achse, schneiden.

Catalan bewies, d​ass die Ebene u​nd die Wendelfläche d​ie einzigen Regelflächen u​nter den Minimalflächen sind.

Bemerkung:

1. Regelflächen, aber keine Catalansche Flächen sind z. B.: Kegel, einschaliges Hyperboloid.
2. Man sollte eine Catalansche Fläche nicht mit einer Catalanschen Minimalfläche[1] verwechseln !

Siehe auch

• Regelfläche
• Konoid

Einzelnachweise

1. W. Kühnel: Differentialgeometrie. Vieweg-Verlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-528-17289-4, S. 78.

Literatur

• A. Gray, E. Abbena, S. Salamon: Modern differential geometry of curves and surfaces with Mathematica. 3. Auflage. CRC Press, Boca Raton, FL 2006, ISBN 1-58488-448-7.
• V. Y. Rovenskii: Geometry of curves and surfaces with MAPLE. 2000, ISBN 0-8176-4074-6. (Auszugsweise online)