Carlitz-Identität

Die Carlitz-Identität, n​ach Leonard Carlitz (1907–1999), i​st wie d​er Satz v​on Fuss e​ine Erweiterung d​es Satzes v​on Euler für Dreiecke a​uf Sehnentangentenvierecke, u​nd liefert e​ine Formel für d​en Abstand d​er Mittelpunkte v​on Umkreis u​nd Inkreis e​ines Sehnentangentenvierecks.

Sehnentangentenviereck

Bezeichnet ${\displaystyle x}$ den Abstand der beiden Mittelpunkte, ${\displaystyle R}$ den Radius des Umkreises und ${\displaystyle r}$ den Radius des Inkreises, dann gilt die folgende Gleichung

${\displaystyle \displaystyle x^{2}=R^{2}-2Rr\cdot \mu }$

Der Faktor ${\displaystyle \mu }$ ist dabei wie folgt definiert:

${\displaystyle \displaystyle {\begin{aligned}\mu &={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(a+c)^{2}(ac+bd)}}}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ad+bc)}{(b+d)^{2}(ac+bd)}}}\\&={\frac {\cos({\tfrac {\alpha +\gamma }{4}})}{\cos({\tfrac {\alpha -\gamma }{4}})}}={\frac {\cos({\tfrac {\beta +\delta }{4}})}{\cos({\tfrac {\beta -\delta }{4}})}}\end{aligned}}}$

Die Seiten(längen) des Vierecks werden mit ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle c}$ und ${\displaystyle d}$ bezeichnet und ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, ${\displaystyle \gamma }$ und ${\displaystyle \delta }$ sind die zugehörigen Mittelpunktswinkel dieser Seiten.

Im Gegensatz zu der Gleichung, die der Satz von Fuss liefert, entspricht die Carlitz-Identität bis auf den Korrekturterm ${\displaystyle \mu }$ genau der Gleichung aus dem Satz von Euler. Der Beweis der Carlitz-Identität liefert zudem die Ungleichung ${\displaystyle R\geq {\sqrt {2}}r}$, die auch als Carlitz-Ungleichung bezeichnet wird. Diese ergibt sich auch als eine direkte Folgerung aus dem Satz von Fuss.

Literatur

• L. Carlitz: A Note on Circumscriptible Cyclic Quadrilaterals. Mathematics Magazine, Band 38, Nr. 1 (Januar, 1965), S. 33–35 (JSTOR 2688014)
• Albrecht Hess: Bicentric Quadrilaterals through Inversion. Forum Geometricorum, Band 13 (2013), ISSN 1534-1178, S. 11–15