Bruchpunkt

Der Bruchpunkt (engl. breakdown point) i​st ein Maß für d​ie Robustheit e​ines Schätzers. Der Bruchpunkt g​ibt dabei d​en Anteil d​er Daten an, d​er benötigt wird, u​m das Ergebnis d​es Schätzers beliebig z​u verfälschen. Man s​agt dann, d​ass der Schätzer zusammenbricht.

Endlicher Bruchpunkt

Der endliche Bruchpunkt ist der kleinste Anteil von ${\displaystyle n}$ Beobachtungen, der den Schätzer zusammenbrechen lässt. Er wird mit ${\displaystyle \varepsilon _{n}^{*}}$ bezeichnet.

Das arithmetische Mittel z. B. hat einen endlichen Bruchpunkt von ${\displaystyle \varepsilon _{n}^{*}={\frac {1}{n}}}$ , da bereits ein genügend großer Ausreißer reicht, um seinen Wert beliebig in die Höhe zu treiben. Beim ${\displaystyle \alpha }$ -getrimmten Mittel müssen bereits mehr als ${\displaystyle \lfloor \alpha n\rfloor }$ Stichproben Ausreißer sein, um einen Einfluss auf die Schätzung zu haben. Der Bruchpunkt liegt also bei ${\displaystyle \varepsilon _{n}^{*}={\frac {\lfloor \alpha n\rfloor +1}{n}}}$

Asymptotischer Bruchpunkt

Der asymptotische Bruchpunkt, meist einfach nur als der Bruchpunkt bezeichnet, gibt den relativen Anteil der zur Verfälschung der Schätzung benötigten Daten an. Er wird meist mit ${\displaystyle \varepsilon ^{*}}$ bezeichnet. Ihn erhält man, indem man die Anzahl der Beobachtungen beim endlichen Bruchpunkt gegen unendlich streben lässt, also ${\displaystyle \varepsilon ^{*}=\lim _{n\to \infty }\varepsilon _{n}^{*}}$

Somit ergibt sich für das arithmetische Mittel ein Bruchpunkt von ${\displaystyle \varepsilon ^{*}=0}$ und für das ${\displaystyle \alpha }$ -getrimmte Mittel ein Bruchpunkt von ${\displaystyle \varepsilon ^{*}=\alpha }$