Boolescher Differentialkalkül

Der Boolesche Differentialkalkül (BDK) ist ein Teilgebiet der Booleschen Algebra, der sich speziell mit Änderungen von Booleschen Variablen und Booleschen Funktionen beschäftigt. Die Entwicklung des Booleschen Differentialkalküls wurde durch die Arbeiten von Sheldon B. Akers, Jr. (1959) und A. D. Talancev (A. D. Talantsev, А. Д. Таланцев) (1959) eingeleitet. Seit dieser Zeit wurden sowohl in der Theorie als auch in der Anwendung beim Schaltungsentwurf wichtige Ergebnisse erzielt. Insbesondere die Arbeiten von Dieter Bochmann und Christian Posthoff (1981), André Thayse (1981) sowie Dieter Bochmann und Bernd Steinbach (1991) waren für die Entwicklung des Booleschen Differentialkalküls von Bedeutung.

Boolesche Differentialoperatoren nehmen i​m BDK e​ine wichtige Stellung ein. Sie gestatten d​ie Anwendung e​ines dem d​er klassischen Analysis verwandten Differentialbegriffs a​uf logische Funktionen.

Das Differential ${\displaystyle dx_{i}}$ einer Booleschen Variablen ${\displaystyle x_{i}}$ modelliert den Zusammenhang:

${\displaystyle dx_{i}={\begin{cases}0,&{\text{keine Ä}}\,{\text{nderung von }}x_{i}\\1,&{\text{Ä}}\,{\text{nderung von }}x_{i}\end{cases}}}$

Dabei ist nichts über die Natur, die Ursachen oder Folgen der Änderung vorausgesetzt. Die Differentiale ${\displaystyle dx_{i}}$ sind ebenfalls binäre Größen. Man kann mit ihnen wie mit den üblichen binären Variablen rechnen.

Mit Hilfe d​es Booleschen Differentialkalküls können unterschiedliche Ansätze d​er ereignisdiskreten Systemtheorie, wie

• die Automatentheorie,
• die Petri-Netz-Theorie und
• die Supervisory Control Theory (en)

in e​iner einheitlichen u​nd geschlossenen Form behandelt u​nd deren spezifische Vorteile vereinigt werden.

Literatur

• Sheldon Buckingham Akers, Jr.: On a Theory of Boolean Functions. In: Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. Vol. 7, Nr. 4, Dezember 1959 [1957-09-27, 1959-05-28], ISSN 0368-4245, doi:10.1137/0107041. S. 487–498. (12 Seiten)
• А. Д. Таланцев [A. D. Talancev, A. D. Talantsev]: б анализе и синтезе некоторых электрических схем при помощи специальных логических операторов - Ob analize i sinteze nekotorykh električeskikh skhem pri pomośći special'nykh logičeskikh operatorov [On the analysis and synthesis of certain electrical circuits by means of special logical operators]. In: Автоматика и телемеханика - Avtomatika i telemekhanika [Automation and Remote Control]. Vol. 20, Nr. 7, 1959 (1958-11-01), S. 898–907. Mi at12783. (10 Seiten)
• André Thayse, Marc Davio: Boolean Differential Calculus and its Application to Switching Theory. IEEE Transactions on Computers. C–22 (4). April 1973. S. 409–420. (12 Seiten)
• André Thayse: Boolean Calculus of Differences (= Lecture Notes in Computer Science 101). Springer, Berlin. 1. Auflage. 1981. ISBN 3-540-10286-8. (144 Seiten)
• Dieter Bochmann, Christian Posthoff: Binäre dynamische Systeme. Akademie-Verlag, Berlin / R. Oldenbourg Verlag, München. 1. Auflage. 1981. ISBN 3-486-25071-X. Lizenznummer: 202.100/408/81. Bestellnummer: 7623619 (6391) LSV 1085. (397 Seiten)
• Dieter Bochmann, Bernd Steinbach: Logikentwurf mit XBOOLE. Algorithmen und Programme. VEB Verlag Technik, Berlin. 1. Auflage. 1991. ISBN 3-341-01006-8. (303 Seiten + 5,25″-Diskette)
• Frank Dresig: Gruppierung – Theorie und Anwendung in der Logiksynthese (= Fortschritt-Berichte VDI. Reihe 9, Bd. 145). VDI-Verlag, Düsseldorf 1992, ISBN 3-18-144509-6 (Zugleich: Chemnitz, Techn. Univ., Diss.). (147 Seiten)
• Christian Posthoff, Bernd Steinbach: Logic Functions and Equations - Binary Models for Computer Science. Springer, Dordrecht, Niederlande. 1. Auflage. 2004-02-04. ISBN 1-4020-2937-3. (392 Seiten)
• Bernd Steinbach, Christian Posthoff: Logic Functions and Equations - Examples and Exercises. Springer Science + Business Media B. V., Dordrecht, Niederlande. 1. Auflage. 2009-02-12. ISBN 978-1-4020-9594-8. (232 Seiten)
• Bernd Steinbach, Christian Posthoff: Boolean Differential Calculus - Theory and Applications. Journal of Computational and Theoretical Nanoscience. Vol. 7 Nr. 6: 2010-06-01. S. 933–981. ISSN 1546-1955. doi:10.1166/jctn.2010.1441 (49 Seiten)
• Bernd Steinbach, Christian Posthoff: Boolean Differential Calculus. In: Tsutomu Sasao; Jon T. Butler: Progress in Applications of Boolean Functions. Synthesis Lectures on Digital Circuits and Systems. Morgan & Claypool Publishers: San Rafael, Kalifornien, USA. Vol. 4, Nr. 1, #26, 1. Auflage. (2010-01-15) [2009]. S. 55–78. (24 Seiten)
• Bernd Steinbach, Christian Posthoff: Boolean Differential Equations. Synthesis Lectures on Digital Circuits and Systems. Morgan & Claypool Publishers, San Rafael, Kalifornien, USA. Vol. 8, Nr. 3, #42, 1. Auflage. 2013-07-01, ISBN 978-1-62705-241-2. (158 Seiten)
• Bernd Steinbach, Christian Posthoff: Boolean Differential Calculus. Synthesis Lectures on Digital Circuits and Systems. Morgan & Claypool Publishers, San Rafael, Kalifornien, USA. Vol. 12, Nr. 1, #52, 1. Auflage. 2017-06-07, ISBN 978-1-62705-922-0. doi:10.2200/S00766ED1V01Y201704DCS052. (216 Seiten)