Bockstein-Folge

In d​er Algebraischen Topologie, e​inem Teilgebiet d​er Mathematik, i​st die Bockstein-Folge e​in Hilfsmittel z​um Vergleich v​on Kohomologiegruppen m​it unterschiedlichen Koeffizienten, s​ie ist n​ach Meir Bockstein benannt.

Konstruktion

Homologie

Sei

${\displaystyle 0\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0}$

eine kurze exakte Sequenz abelscher Gruppen und ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum. Aus der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen

${\displaystyle 0\rightarrow C_{*}(X;N)\rightarrow C_{*}(X;G)\rightarrow C_{*}(X;H)\rightarrow 0}$

erhält m​an mittels d​es Schlangenlemmas e​ine lange exakte Sequenz v​on Homologiegruppen

${\displaystyle \ldots \rightarrow H_{*+1}(X;H)\rightarrow H_{*}(X;N)\rightarrow H_{*}(X;G)\rightarrow H_{*}(X;H)\rightarrow H_{*-1}(X;N)\rightarrow \ldots }$ ,

die sogenannte Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz. Der verbindende Homomorphismus ${\displaystyle H_{*}(X;H)\rightarrow H_{*-1}(X;N)}$ heißt Bockstein-Homomorphismus.

Kohomologie

${\displaystyle 0\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 0}$ liefert auch eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen

${\displaystyle 0\rightarrow C^{*}(X;N)\rightarrow C^{*}(X;G)\rightarrow C^{*}(X;H)\rightarrow 0}$

und wieder m​it dem Schlangenlemma e​ine lange exakte Sequenz v​on Kohomologiegruppen

${\displaystyle \ldots \rightarrow H^{*-1}(X;H)\rightarrow H^{*}(X;N)\rightarrow H^{*}(X;G)\rightarrow H^{*}(X;H)\rightarrow H^{*+1}(X;N)\rightarrow \ldots }$ ,

die ebenfalls als Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz bezeichnet wird und der verbindende Homomorphismus ${\displaystyle H^{*}(X;H)\rightarrow H^{*+1}(X;N)}$ als Bockstein-Homomorphismus.

Beispiele

• Die kurze exakte Sequenz ${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \rightarrow 0}$ gibt die Bockstein-Homomorphismen

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\rightarrow H_{i-1}(X;\mathbb {Z} )}$ und ${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} )}$ .

• Der zur kurzen exakten Sequenz ${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /n^{2}\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} \rightarrow 0}$ assoziierte Bockstein-Homomorphismus

${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}$

ist von Bedeutung für die Konstruktion der Steenrod-Algebra.

• Die zu den kurzen exakten Sequenzen ${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} \rightarrow 0}$ und ${\displaystyle 0\rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} /\mathbb {Z} \rightarrow 0}$ assoziierten Bockstein-Homomorphismen

${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} )}$ und ${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {C} /\mathbb {Z} )\rightarrow H^{i+1}(X;\mathbb {Z} )}$

sind von Bedeutung in der Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen und in der Deligne-Kohomologie.

Literatur

• Bockstein, M. (1942). Universal systems of ∇-homology rings. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 37: 243–245. MR0008701.
• Bockstein, M. (1943). A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 38: 187–189. MR0009115.
• Bockstein, M. (1958). Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d'homologie. 《Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique》 247: 396–398. MR0103918.