Beugungsintegral

Das Beugungsintegral ermöglicht es, i​n der Optik d​ie Beugung v​on Licht d​urch eine beliebig geformte Blende z​u berechnen. Speziell w​ird dabei d​ie an e​inem Punkt d​es Beobachtungsschirms auftreffende Intensität d​es Lichtes berechnet, ausgehend v​on einer einfallenden Elementarwelle u​nd der Blendenfunktion, welche d​ie Lichtdurchlässigkeit d​er Blende beschreibt.

Zwei Grenzfälle d​es Beugungsintegrals s​ind die Näherungen für d​as Fernfeld (Fraunhofer-Beugung) u​nd für d​as Nahfeld (Fresnel-Beugung). Siehe d​azu die entsprechenden Teilabschnitte.

Versuchsaufbau zur Beugung von Licht an einer Blende

Die nebenstehende Skizze zeigt die experimentelle Anordnung, bestehend aus einer Lichtquelle ${\displaystyle Q}$, einer Blende ${\displaystyle S}$, an der das einfallende Licht gebeugt wird, und einem Beobachtungsschirm, auf dem die auftreffende Lichtintensität an ${\displaystyle P}$ untersucht wird. Die Form und die Eigenschaften der Blende bestimmen dabei, wie die Intensitätsverteilung auf dem Beobachtungsschirm aussieht.

Hat d​ie Blende z. B. d​ie Form e​ines Doppelspalts, s​o ergibt s​ich als Intensitätsverteilung d​as bekannte Interferenzmuster. Weitere Anwendungen d​es Beugungsintegrals s​ind z. B. Beugungsscheibchen u​nd Klotoide.

Das kirchhoffsche Beugungsintegral

Skizze zur Fraunhofer-/Fresnel-Näherung des Beugungsintegrals

Das kirchhoffsche Beugungsintegral, a​uch fresnel-kirchhoffsches Beugungsintegral genannt, lautet[1]

${\displaystyle \psi _{P}={\frac {a_{Q}\,k_{0}}{2\pi \,\mathrm {i} }}\int _{\text{Blende}}\mathrm {d} S\,f_{S}\,{\frac {e^{\mathrm {i} \,k_{0}(d+d_{1})}}{d\cdot d_{1}}}\left[{\frac {\cos \theta +\cos {\theta _{1}}}{2}}\right].}$

Dabei bezeichnen

• ${\displaystyle a_{Q}}$ die Amplitude der Quelle,
• ${\displaystyle k_{0}=2\pi /\lambda }$ den Betrag des Wellenvektors,
• ${\displaystyle \lambda }$ die Wellenlänge des Lichtes,
• ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ ein infinitesimales Flächenelement der Blende,
• ${\displaystyle f_{S}}$ die Blendenfunktion,
• ${\displaystyle (\cos \theta +\cos \theta _{1})/2}$ den Neigungsfaktor und schließlich
• ${\displaystyle \psi _{P}}$ die Amplitude im Punkt ${\displaystyle P}$ auf dem Beobachtungsschirm.

Da die Abstände ${\displaystyle d_{1}}$ und ${\displaystyle d}$ in den meisten Anwendungen hinreichend senkrecht zur Blende sind, kann der Neigungsfaktor in diesen Fällen gleich Eins gesetzt werden. Dabei sind ${\displaystyle \theta _{1}}$ bzw. ${\displaystyle \theta }$ die Winkel zwischen den mit ${\displaystyle d_{1}}$ bzw. ${\displaystyle d}$ gekennzeichneten Linien und einem Lot auf die Blendenebene im Schnittpunkt der Linien.

Die Intensität am Punkt ${\displaystyle P}$ ergibt sich als Betragsquadrat von ${\displaystyle \psi _{P}}$

${\displaystyle I(P)=|\psi _{P}|^{2}={\frac {a_{Q}^{2}\,k_{0}^{2}}{4\pi ^{2}}}\left|\int _{\text{Blende}}\mathrm {d} S\,f_{S}\,{e^{\mathrm {i} \,k_{0}(d+d_{1})} \over d\cdot d_{1}}\left[{\frac {\cos \theta +\cos {\theta _{1}}}{2}}\right]\right|^{2}.}$

Fraunhofer- und Fresnel-Beugung

Prinzip der Fresnelbeugung erläutert anhand einer Schlitzblende

Prinzip der Fraunhoferbeugung erläutert anhand einer Schlitzblende

Prinzip der Fraunhoferbeugung erläutert anhand eines Linsensystems und einer Schlitzblende

Für die Lichtwege ${\displaystyle d}$ und ${\displaystyle d_{1}}$ gelten die geometrischen Zusammenhänge (siehe Skizze)

${\displaystyle d={\sqrt {L^{2}+|{\vec {s}}+(-{\vec {p}})|^{2}}}}$ und

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {L_{1}^{2}+|{\vec {s}}|^{2}}}}$.

Unter den Annahmen ${\displaystyle L_{1}\gg |{\vec {s}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ und ${\displaystyle L\gg |{\vec {p}}|={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}$ können die Wurzeln durch eine Taylor-Entwicklung angenähert werden.

Diese Näherung entspricht gerade dem Fall, dass ${\displaystyle \theta \approx \theta _{1}\approx 0}$, d. h., für diese Betrachtungen kann der Neigungsfaktor näherungsweise gleich 1 gesetzt werden. Damit lautet das Beugungsintegral

${\displaystyle \psi _{P}={\frac {a_{Q}\,k_{0}}{2\pi \,\mathrm {i} }}\int _{\text{Blende}}\mathrm {d} S\,f_{S}\,{e^{\mathrm {i} \,k_{0}(d+d_{1})} \over d\cdot d_{1}}.}$

Ferner kann wegen der Näherung im Nenner ${\displaystyle d\cdot d_{1}\approx L_{1}\,L}$ gesetzt werden. Der Exponent enthält die für die Interferenz wesentliche Phaseninformation und darf nicht auf diese Weise vereinfacht werden. Daraus folgt

${\displaystyle \psi _{P}={\frac {a_{Q}\,k_{0}}{2\pi \,\mathrm {i} }}{\frac {1}{L_{1}\,L}}\int _{\text{Blende}}\mathrm {d} S\,f_{S}\,e^{\mathrm {i} \,k_{0}(d+d_{1})}.}$

Die Näherung für die Ausdrücke ${\displaystyle d}$ und ${\displaystyle d_{1}}$, explizit ausgeführt bis zur 2. Ordnung, ergibt

${\displaystyle d={\sqrt {L^{2}+|{\vec {s}}-{\vec {p}}|^{2}}}\approx L\left(1+{|{\vec {s}}-{\vec {p}}|^{2} \over 2L^{2}}+\ldots \right)=L\left(1+{s^{2}+p^{2}-2{\vec {s}}\cdot {\vec {p}} \over 2L^{2}}+\ldots \right)}$

sowie

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {L_{1}^{2}+s^{2}}}\approx L_{1}\left(1+{s^{2} \over 2L_{1}^{2}}+\ldots \right).}$

Ausgedrückt durch die Koordinaten ${\displaystyle (x,\,y)}$ und ${\displaystyle (x',\,y')}$ ergibt das

${\displaystyle d\approx L\left(1+{\frac {x^{2}+y^{2}+x'^{2}+y'^{2}-2(x\,x'+y\,y')}{2L^{2}}}+\ldots \right)}$

und

${\displaystyle d_{1}\approx L_{1}\left(1+{\frac {x^{2}+y^{2}}{2L_{1}^{2}}}+\ldots \right).}$

Fraunhofer-Näherung

Die Fraunhofer-Näherung entspricht einer Fernfeld-Näherung, das heißt, dass nicht nur die Blendenöffnung als klein, sondern auch die Entfernung des Beobachtungsschirms ${\displaystyle L}$ als groß angenommen werden. Als Beugungsintegral ergibt sich dabei im Wesentlichen gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion. Deshalb spricht man im Rahmen der Fraunhofer-Beugung auch von der Fourier-Optik.

Entsprechend diesen Annahmen werden nur Terme berücksichtigt, die linear in ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ sind, das heißt

${\displaystyle d\approx L\left(1+{x'^{2}+y'^{2}-2(x\,x'+y\,y') \over 2L^{2}}\right)=L\left(1+{|{\vec {p}}|^{2}-2(x\,x'+y\,y') \over 2L^{2}}\right),}$

${\displaystyle d_{1}\approx L_{1}.}$

In diesem Fall vereinfacht s​ich das Beugungsintegral zu

${\displaystyle \psi _{P}\approx {a_{Q}\,k_{0} \over 2\pi \,\mathrm {i} }{e^{\mathrm {i} \,k_{0}(L_{1}+L+{p^{2} \over 2L})} \over L_{1}\,L}\iint _{\mathrm {Blende} }\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,f_{S}(x,y)\,e^{-\mathrm {i} \,k_{0}{(x\,x'+y\,y') \over L}}.}$

Definiert man einen neuen Wellenvektor ${\displaystyle {\vec {K}}={k_{0} \over L}{\vec {p}}}$, so ergibt sich für das Integral

${\displaystyle \iint _{\mathrm {Blende} }\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,f_{S}(x,y)\,e^{-\mathrm {i} \,k_{0}{(x\,x'+y\,y') \over L}}=\iint _{\mathrm {Blende} }\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,f_{S}(x,y)\,e^{-\mathrm {i} \,{k_{0} \over L}{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}}=\iint _{\mathrm {Blende} }\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,f_{S}(x,y)\,e^{-\mathrm {i} \,{\vec {K}}\cdot {\vec {s}}}}$.

Dies ist gerade die Fourier-Transformierte der Blendenfunktion ${\displaystyle f_{S}\,(x,y)}$.

Fresnel-Näherung

Die Fresnel-Näherung entspricht einer Nahfeld-Näherung. In ihr werden auch quadratische Terme im Exponenten berücksichtigt. Das in die Form einer Fourier-Transformierten gebrachte Beugungsintegral ist dann durch einen zusätzlichen Term im Allgemeinen nicht mehr analytisch, sondern nur numerisch lösbar.

Unter Berücksichtigung quadratischer Terme in ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ ergibt sich

${\displaystyle d\approx L\left(1+{x^{2}+y^{2}+x'^{2}+y'^{2}-2(x\,x'+y\,y') \over 2L^{2}}+\ldots \right),}$

${\displaystyle d_{1}\approx L_{1}\left(1+{x^{2}+y^{2} \over 2L_{1}^{2}}+\ldots \right).}$

In diesem Fall lautet d​as Beugungsintegral

${\displaystyle \psi _{P}\approx {a_{Q}\,k_{0} \over 2\pi \,\mathrm {i} }{e^{\mathrm {i} \,k_{0}(L+L_{1}+{p^{2} \over 2L})} \over L\,L_{1}}\iint _{\mathrm {Blende} }\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,f_{S}(x,y)\,e^{\mathrm {i} \,k_{0}({x^{2}+y^{2}-2(x\,x'+y\,y') \over 2L}+{x^{2}+y^{2} \over 2L_{1}})}.}$

Einführung von ${\displaystyle L'}$ mit ${\displaystyle {1 \over L'}={1 \over L}+{1 \over L_{1}}}$ und ${\displaystyle {\vec {K}}={k_{0} \over L}{\vec {p}}}$ ergibt dann das Beugungsintegral in Nahfeld-Näherung

${\displaystyle \psi _{P}\approx {a_{Q}\,k_{0} \over 2\pi \,\mathrm {i} }{e^{\mathrm {i} \,k_{0}(L+L_{1}+{p^{2} \over 2L})} \over L\,L_{1}}\iint _{\mathrm {Blende} }\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,f_{S}(x,y)\,e^{i\,k_{0}{x^{2}+y^{2} \over 2L'}}e^{-\mathrm {i} \,{\vec {K}}\cdot {\vec {s}}}.}$

Heuristische Herleitung

Bezeichnungen

Aus der Quelle ${\displaystyle Q}$ mit Amplitude ${\displaystyle a_{Q}}$ bei ${\displaystyle {\vec {r}}_{Q}}$ tritt die Kugelwelle ${\displaystyle \psi _{Q}}$, deren Amplitude reziprok mit der Entfernung (${\displaystyle 1/|{\vec {r}}|}$) abnimmt. Wellenvektor ${\displaystyle k}$ mal Abstand ${\displaystyle |{\vec {r}}|}$ gibt die Phasenverschiebung der Welle am Ort ${\displaystyle {\vec {r}}}$, Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ mal Zeit ${\displaystyle t}$ die Phasenverschiebung zur Zeit ${\displaystyle t}$. Die Welle ist beschrieben durch die Phase am Ort ${\displaystyle {\vec {r}}}$ zur Zeit ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle \psi _{Q}({\vec {r}},t)=a_{Q}\,{e^{\mathrm {i} (k\,|{\vec {r}}|-\omega \,t)} \over |{\vec {r}}|}.}$

Am Punkt ${\displaystyle S}$ bei ${\displaystyle {\vec {r}}_{S}}$ trifft die Welle im Abstand ${\displaystyle d_{1}}$ auf die Blende. Es sei ${\displaystyle \psi _{1}}$ die Feldverteilung der Welle am Punkt ${\displaystyle S}$.

${\displaystyle \psi _{1}(t)=\psi _{Q}(d_{1},t)=a_{Q}\,{e^{\mathrm {i} (k\,d_{1}-\omega \,t)} \over d_{1}}}$

Nach dem huygensschen Prinzip ist der Punkt ${\displaystyle S}$ Ausgangspunkt einer Elementarwelle, der Sekundärwelle ${\displaystyle \psi _{S}}$.

${\displaystyle \psi _{S}({\vec {r}},t)=a_{S}\,{e^{i(k\,|{\vec {r}}|-\omega \,t)} \over |{\vec {r}}|}.}$

Die Amplitude von ${\displaystyle \psi _{S}}$ ist proportional zur Quellen-Amplitude ${\displaystyle a_{Q}}$ und zur Blendenfunktion ${\displaystyle f_{S}}$. Die Blendenfunktion gibt die Durchlässigkeit der Blende an. Im einfachsten Fall ist ${\displaystyle f_{S}=1}$, wenn die Blende geöffnet ist, und ${\displaystyle f_{S}=0}$, wenn die Blende geschlossen ist. ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ ist das infinitesimale Flächenelement der Blendenöffnung am Punkt ${\displaystyle S}$.

${\displaystyle a_{S}(t)\sim f_{S}\,\mathrm {d} S\,\psi _{1}(t)}$

Die Sekundärwelle ${\displaystyle \psi _{S}}$ erzeugt im Punkt ${\displaystyle P}$ bei ${\displaystyle {\vec {r}}_{P}}$ auf dem Schirm die Wellenintensität ${\displaystyle \mathrm {d} \psi _{P}(t)}$. Sie ist infinitesimal, da nur der Beitrag von ${\displaystyle \mathrm {d} S}$ und nicht aller anderen Punkte auf der Blende betrachtet wird.

${\displaystyle \mathrm {d} \psi _{P}(t)=\psi _{S}({\vec {d}};t)=a_{S}\,{e^{\mathrm {i} (k\,d-\omega \,t)} \over d}}$

Die Zeitabhängigkeit ${\displaystyle e^{-\mathrm {i} \,\omega \,t}}$ kann vernachlässigt werden, da sie später beim Rechnen mit Intensitäten ohnehin durch die zeitliche Mittelung verschwindet. Durch Einsetzen erhält man:

${\displaystyle \mathrm {d} \psi _{P}\sim f_{S}\,\mathrm {d} S\,\psi _{1}(t)\,{\frac {e^{\mathrm {i} \,k\,d}}{d}}=f_{S}\,\mathrm {d} S\,a_{Q}\,{\frac {e^{\mathrm {i} \,k\,d_{1}}}{d_{1}}}\,{\frac {e^{\mathrm {i} \,k\,d}}{d}}=f_{S}\,\mathrm {d} S\,a_{Q}\,{\frac {e^{\mathrm {i} \,k\,(d_{1}+d)}}{d_{1}\,d}}}$

Von jedem Punkt auf der Blende geht eine Sekundärwelle aus. Die Intensität ${\displaystyle \psi _{P}}$ im Beobachtungspunkt ${\displaystyle P}$ wird durch die Überlagerung aller Einzelbeiträge erzeugt:

${\displaystyle \psi _{P}\sim a_{Q}\int _{\text{Blende}}\mathrm {d} S\,f_{S}\,{\frac {e^{\mathrm {i} \,k(d+d_{1})}}{d\cdot d_{1}}}.}$

Diese Gleichung erinnert bereits stark an das oben gegebene Beugungsintegral. Mit dem Proportionalitätsfaktor ${\displaystyle k/(2\pi \,\mathrm {i} )}$ ergibt sich (Neigungswinkel vernachlässigt):[2]

${\displaystyle \psi _{P}=a_{Q}\,{\frac {k}{2\pi \,\mathrm {i} }}\,\int _{\text{Blende}}\mathrm {d} S\,f_{S}\,{e^{\mathrm {i} \,k(d+d_{1})} \over d\cdot d_{1}}.}$

Einzelnachweise

1. Hans-Joachim Eichler, Ludwig Bergmann, Clemens Schäfer: Lehrbuch der Experimentalphysik. Bd. 3: Optik. Hrsg.: Heinz Niedrig. 9. Auflage. de Gruyter, Berlin/New York 1993, ISBN 3-11-012973-6, Kapitel 11.4.
2. Eine exakte Herleitung unter Berücksichtigung des Neigungsfaktors findet man z. B. in Miles V. Klein, Thomas E. Furtak: Optics. Second Edition, John Wiley and Sons, 1986, ISBN 0-471-87297-0, Appendix A, S. 649–652.