Bethe-Heitler-Formel

Die Bethe-Heitler-Formel i​st eine Formel z​ur Berechnung d​es Wirkungsquerschnitt für d​en Streuprozess e​ines Elektrons a​n einem Atom m​it anschließender Emission e​ines Lichtquants. Sie w​urde von Hans Bethe u​nd Walter Heitler 1934 gefunden.[1][2]

Die Bethe-Heitler-Formel lautet für d​en differentiellen Wirkungsquerschnitt:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{4}\sigma }{\mathrm {d} k\mathrm {d} \theta \mathrm {d} \theta _{0}\mathrm {d} \phi }}=8\pi \alpha ^{3}{\frac {\sin \theta \sin \theta _{0}}{k}}{\frac {p}{p_{0}}}{\frac {(Z-F(q))^{2}}{q^{4}}}\Gamma }$

Hierbei ist ${\displaystyle {\vec {q}}}$ der Impulsübertrag auf das Atom, ${\displaystyle {\vec {p}}_{0},{\vec {p}}}$ sind die Impulse des ein- und auslaufendes Elektrons, ${\displaystyle {\vec {k}}}$ der Impuls des auslaufendes Photons. Es gilt hierbei:

${\displaystyle {\vec {q}}={\vec {p}}_{0}-{\vec {p}}-{\vec {k}}}$

${\displaystyle F({\vec {q}})}$ ist der Formfaktor der Ladungsverteilung, welche auch als Screening-Funktion in dem Zusammenhang bezeichnet wird:

${\displaystyle F({\vec {q}})={\frac {1}{Q}}\int \mathrm {d} ^{3}{\vec {r}}\rho (r)e^{\mathrm {i} {\vec {q}}\cdot {\vec {r}}}}$

${\displaystyle Q}$ ist dabei die Gesamtladung des Atoms und ${\displaystyle \rho }$ seine Ladungsverteilung.

${\displaystyle \Gamma }$ ist definiert durch:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma =&{\frac {p^{2}\sin ^{2}\theta }{\epsilon ^{2}}}(4E_{0}^{2}-q^{2})+{\frac {p_{0}^{2}\sin ^{2}\theta _{0}}{\epsilon _{0}^{2}}}(4E^{2}-q^{2})-{\frac {2pp_{0}\sin \theta \sin \theta _{0}\cos \phi }{\epsilon \epsilon _{0}}}(4EE_{0}-q^{2})\\&+{\frac {2k^{2}}{\epsilon \epsilon _{0}}}(p^{2}\sin ^{2}\theta +p_{0}^{2}\sin ^{2}\theta _{0}-2pp_{0}\sin \theta \sin \theta _{0}\cos \phi )\end{aligned}}}$

mit:

• ${\displaystyle \epsilon =E-p\cos \theta }$
• ${\displaystyle \epsilon _{0}=E_{0}-p_{0}\cos \theta _{0}}$

Hierbei sind ${\displaystyle E_{0}}$ und ${\displaystyle E}$ die Energie des ein- und auslaufenden Elektrons ${\displaystyle E={\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$

• ${\displaystyle \theta _{0}}$ und ${\displaystyle \theta }$ sind die Winkel zwischen dem Photonenvektor ${\displaystyle {\vec {k}}}$ und den Impulsvektoren ${\displaystyle {\vec {p}}_{0}}$ bzw. ${\displaystyle {\vec {p}}}$ des ein- und auslaufenden Elektrons.
• Der Winkel ${\displaystyle \phi }$ ist der Winkel zwischen der ${\displaystyle ({\vec {p}},{\vec {k}})}$ und der ${\displaystyle ({\vec {p}}_{0},{\vec {k}})}$-Ebene

Die Behandlung der Streuung von Elektronen an Atomen mit Strahlungsemission durch Bethe und Heitler beruht auf der komplett relativistischen Behandlung des Problems mit der Dirac-Gleichung mit der Bornschen Näherung in der 2. Ordnung Störungstheorie. Voraussetzung hierfür sind, dass ${\displaystyle Z\alpha \ll 1}$ ist, also Ladungszahl des Atom multipliziert mit der Feinstrukturkonstante. Außerdem müssen die Impulse des ein- und auslaufenden Elektrons wesentlich größer sein als ${\displaystyle mZ\alpha }$.

Einzelnachweise

1. Hans Bethe, Walter Heitler: On the stopping of fast particles and on the creation of positive electrons. In: Proc. Roy. Soc. A. Band 146, Nr. 856, 1934, S. 83–112.
2. Hans. A. Bethe, Edwin E. Salpeter: Quantum Mechanics of One- and Two-Electron-Atoms. Academic Press, New York 1957.