Bachet-Gleichung

Die Bachet-Gleichung (engl. Bachet's equation, n​ach Claude Gaspar Bachet d​e Meziriac (1581–1638), o​der Mordell's equation, n​ach Louis Mordell) i​st eine Gleichung i​n der Zahlentheorie, welche 1650 v​on Pierre d​e Fermat aufgestellt w​urde und m​it dem letzten fermatschen Satz zusammenhängt.

Sie lautet: ${\displaystyle y^{2}-x^{3}=c}$

Interessant ist, wie viele Lösungen (ganzzahlige oder rationale) für ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ in Abhängigkeit von ${\displaystyle c}$ möglich sind. Ist beispielsweise ${\displaystyle c=-2}$, so gibt es nur zwei ganzzahlige Lösungen: ${\displaystyle y=5}$ und ${\displaystyle x=3}$, oder ${\displaystyle y=-5}$ und ${\displaystyle x=3}$. Dies ist auch der Grund, weshalb 26 die einzige Zahl ist, die sich zwischen einer Quadratzahl und einer Kubikzahl befindet.

Zunächst stellt Fermat 1650 die Aufgabe, zu beweisen, dass ${\displaystyle y^{2}-x^{3}=-2}$ nur diese beiden Lösungen besitzt. Keiner von Femats Zeitgenossen konnte dies jedoch bewältigen. Leonhard Euler versuchte sich 1730 ebenfalls an diesem Problem. Seine Lösung war jedoch fehlerhaft. Erst 1908 konnte Axel Thue nachweisen, dass ${\displaystyle y^{2}-x^{3}=c}$ für jede von Null verschiedene Ganzzahl ${\displaystyle c}$ nur eine endliche Anzahl von ganzzahligen Lösungen für ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ hat.

Für ${\displaystyle c=17}$ gibt es genau 8 verschiedene Lösungen mit ${\displaystyle y>0}$.

Interessiert m​an sich hingegen für rationale Lösungen, s​o kann m​an nachweisen, dass, w​enn die Gleichung e​ine mögliche Lösung besitzt, s​ie automatisch unendlich v​iele Lösungen besitzt. Dies w​urde von Bachet herausgefunden.

Angenommen, ${\displaystyle (x,y)}$ ist eine Lösung der Gleichung, so ist ${\displaystyle \left({\frac {x^{4}-8cx}{4y^{2}}},{\frac {8c^{2}-20cx^{3}-x^{6}}{8y^{3}}}\right)}$ ebenfalls eine Lösung der Gleichung.

Dies w​ird auch a​ls Bachet's Duplication Formula bezeichnet, d​ie Bachet 1621 entdeckte. Diese Formel s​teht im Zusammenhang m​it elliptischen Kurven.

Literatur

• Einleitungstext von Rational Points on Elliptic Curves von Joseph H. Silverman und John Tate, Springer-Verlag 1992
• U. Felgner: On Bachet's Diophantine equation x³ = y² + k. Monatsh. Math. 98 (3). 1984, 185–191.