Allabschluss

Als Allabschluss bezeichnet m​an eine syntaktische Operation i​n der Prädikatenlogik, d​urch welche für a​lle sogenannten freien Variablen e​iner Formel F e​ine Allquantifizierung, d. h. e​ine Quantifizierung mittels d​es Allquantors ∀ vorgenommen wird. Formal:

  • Der Allabschluss ∀(F) einer Formel F lautet
  1. F, falls F geschlossen ist (d. h. nicht über freie Variablen verfügt)
  2. ∀x1...xn F falls x1,...,xn freie Variablen in F sind.

Der Allabschluss k​ann auch für Formelmengen definiert werden:

  • Sei S eine Menge von Formeln. Dann ist der Allabschluss ∀S die Menge ∀S := {∀(F) | F∈S}.

Die z​um Allabschluss analoge Operation m​it dem Existenzquantor ∃ heißt Existenzabschluss.

Äquivalenz und Allgemeingültigkeit des Allabschlusses

Der Allabschluss i​st im Allgemeinen n​icht logisch äquivalent z​ur Ursprungsformel, d. h.

  • F ∀(F) gilt nicht für alle F.

Er bewahrt jedoch d​ie Allgemeingültigkeit e​iner Formel, d. h.

  • Wenn F allgemeingültig, dann ist auch ∀(F) allgemeingültig.
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