Abelscher Grenzwertsatz

Der Abelsche Grenzwertsatz i​st ein mathematischer Satz a​us dem Teilgebiet d​er Analysis. Er beschreibt, u​nter welchen Bedingungen s​ich eine a​ls Potenzreihe definierte Funktion stetig a​uf die Ränder d​es Konvergenzintervalls fortsetzen lässt, u​nd lautet w​ie folgt:

Sei ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ eine konvergente Reihe reeller Zahlen. Dann konvergiert die Potenzreihe ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ auf dem Intervall ${\displaystyle [0,1]}$ und die durch sie definierte Funktion ${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ ist stetig auf ${\displaystyle [0,1]}$ mit ${\displaystyle f(1)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$.

Anwendung

Die Umkehrfunktion der Tangensfunktion besitzt auf dem Intervall ${\displaystyle (0,1)\subset (-1,1)}$ die folgende Darstellung als Potenzreihe:

${\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}$.

Die Reihe ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$ konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Da ${\displaystyle \tan({\tfrac {\pi }{4}})=1}$, liefert der abelsche Grenzwertsatz die Identität

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$.

Literatur

• Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage. Aula-Verlag Wiesbaden 1989, S. 205.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 6. Auflage. Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 367.
• Vieweg Mathematik Lexikon. Vieweg-Verlag, (1988).

Weblinks

• Eric W. Weisstein: verallgemeinerte Version des Abelschen Grenzwertsatzes. In: MathWorld (englisch).
• Abel’s limit theorem. In: PlanetMath. (englisch)
• Proof of Abel’s limit theorem. In: PlanetMath. (englisch)