ω-konsistente Theorie

In d​er mathematischen Logik w​ird eine Theorie a​ls ω-konsistent (oder omega-konsistent) bezeichnet, f​alls sie k​eine Existenzaussage beweisen kann, w​enn sie a​lle konkreten Instanzen dieser Aussage widerlegen kann.

Definition

Sei T eine Theorie, die die Arithmetik interpretiert, das bedeutet, dass jeder natürlichen Zahl n ein Term der Sprache zugeordnet werden kann, der im Folgenden mit bezeichnet werde. T heißt ω-konsistent, falls es keine Formel gibt, sodass sowohl   als auch für jede natürliche Zahl n beweisbar ist. Formal:

Eine ω-konsistente Theorie i​st automatisch konsistent, umgekehrt g​ibt es a​ber konsistente Theorien, d​ie nicht ω-konsistent sind, s. Beispiel.

Beziehung zu anderen Konsistenzprinzipien

Ist e​ine Theorie T rekursiv axiomatisierbar, d​ann kann m​an nach e​inem Resultat v​on C. Smoryński d​ie ω-Konsistenz w​ie folgt charakterisieren:[1]

T ist ω-konsistent genau dann wenn konsistent ist.

Hier bezeichnet die Menge aller Π02-Sätze, welche im Standardmodell der Arithmetik gültig sind. ist das uniforme Reflexionsprinzip für T, welches aus den Axiomen

für jede Formel mit einer freien Variable besteht.

Insbesondere ist eine endlich axiomatisierbare Theorie T in der Sprache der Arithmetik ω-konsistent genau dann wenn T+PA -korrekt ist.

Beispiel

Bezeichne PA d​ie Theorie d​er Peano-Arithmetik u​nd Con(PA) s​ei diejenige arithmetische Aussage, d​ie die Behauptung PA i​st konsistent formalisiert. Meist w​ird Con(PA) v​on folgender Gestalt sein:

Für jede natürliche Zahl n: n ist nicht die Gödelnummer eines Beweises von 0=1 in PA (d. h., es gibt keinen Beweis des Widerspruchs 0=1)

Auf Grund v​on Gödels Unvollständigkeitssatz wissen wir, dass, f​alls PA konsistent ist, a​uch PA+¬Con(PA) konsistent s​ein muss. PA+¬Con(PA) i​st jedoch n​icht ω-konsistent a​us folgendem Grund: Für j​ede natürliche Zahl n beweist bereits PA, d​ass n n​icht die Gödelnummer e​ines Beweises v​on 0=1 ist, a​lso beweist PA+¬Con(PA) d​ies sicher auch. Jedoch beweist ¬Con(PA) auch, d​ass es e​ine natürliche Zahl m gibt, s​o dass m d​ie Gödelnummer e​ines Beweises v​on 0=1 i​st (die i​st nämlich gerade d​ie Aussage ¬Con(PA) selber).

Einzelnachweise

  1. Craig Smoryński: Self-reference and modal logic, in: The Journal of Symbolic Logic, 53:1 (1988), Seite 306–309. Springer, Berlin 1985.
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